Diketahui 3log2 = a dan 2log7 = b. Nilai 12log42 jika

Nilai ¹²log42 adalah (a + 1 + ab) / (2a + 1).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma, khususnya perubahan basis dan manipulasi aljabar.

Diketahui:
³log 2 = a
²log 7 = b

Ditanya: Nilai ¹²log 42 dalam bentuk a dan b.

Langkah 1: Ubah semua logaritma ke basis yang sama. Basis 3 atau basis 2 tampaknya paling cocok karena adanya a dan b.
Mari kita ubah ke basis 3.

Kita sudah punya ³log 2 = a.
Sekarang, ubah ²log 7 = b ke basis 3:
²log 7 = (³log 7) / (³log 2)
b = (³log 7) / a
³log 7 = ab.

Sekarang kita perlu menyederhanakan ¹²log 42.
¹²log 42 = (³log 42) / (³log 12).

Mari kita uraikan argumennya:
42 = 2 * 3 * 7
12 = 2² * 3

Sekarang, ubah ke dalam bentuk logaritma basis 3:
³log 42 = ³log (2 * 3 * 7)
= ³log 2 + ³log 3 + ³log 7
= a + 1 + ab.

³log 12 = ³log (2² * 3)
= ³log (2²) + ³log 3
= 2 ³log 2 + 1
= 2a + 1.

Sekarang, gabungkan:
¹²log 42 = (³log 42) / (³log 12)
= (a + 1 + ab) / (2a + 1).

Jadi, nilai ¹²log 42 jika dinyatakan dengan a dan b adalah (a + 1 + ab) / (2a + 1).

Mari kita periksa jika kita ubah ke basis 2:
Kita punya ²log 7 = b.
Dari ³log 2 = a, kita dapatkan ¹/(²log 3) = a, sehingga ²log 3 = 1/a.

Sekarang, kita perlu menghitung ¹²log 42 dalam basis 2.
¹²log 42 = (²log 42) / (²log 12).

²log 42 = ²log (2 * 3 * 7)
= ²log 2 + ²log 3 + ²log 7
= 1 + (1/a) + b.

²log 12 = ²log (2² * 3)
= ²log (2²) + ²log 3
= 2 ²log 2 + ²log 3
= 2 * 1 + (1/a)
= 2 + 1/a.

Sekarang, gabungkan:
¹²log 42 = (1 + 1/a + b) / (2 + 1/a).

Untuk menyederhanakan, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 'a':
¹²log 42 = [a(1 + 1/a + b)] / [a(2 + 1/a)]
= (a + 1 + ab) / (2a + 1).

Hasilnya sama menggunakan kedua basis.