Diketahui 5x + p < x + 16, x e {1,2,3,4} dan p bilangan

10

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai terbesar dari p yang memenuhi kondisi yang diberikan.

Diketahui:
1. Pertidaksamaan: 5x + p < x + 16
2. Himpunan nilai x: x ∈ {1, 2, 3, 4}
3. p adalah bilangan asli genap.

Langkah 1: Sederhanakan pertidaksamaan.
5x + p < x + 16
5x - x < 16 - p
4x < 16 - p
x < (16 - p) / 4

Langkah 2: Substitusikan nilai-nilai x dari himpunan yang diberikan dan cari nilai p yang terbesar.
Karena kita mencari nilai p yang terbesar, kita perlu mempertimbangkan nilai x terbesar terlebih dahulu, yaitu x = 4, agar sisa ruang untuk p menjadi lebih kecil (memungkinkan p yang lebih besar).

Jika x = 4:
4 < (16 - p) / 4
4 * 4 < 16 - p
16 < 16 - p
16 - 16 < -p
0 < -p
p < 0

Hasil ini bertentangan dengan syarat bahwa p adalah bilangan asli genap (p harus positif).

Mari kita coba dari nilai x yang lebih kecil. Kita ingin agar pertidaksamaan ini tetap terpenuhi untuk setidaknya satu nilai x, dan kita mencari nilai p terbesar. Agar p bisa besar, (16-p) harus positif dan cukup besar sehingga dibagi 4 masih lebih besar dari x. Atau, kita bisa memikirkan batas atas untuk p.

Dari x < (16 - p) / 4, kita bisa tulis ulang menjadi:
4x < 16 - p
p < 16 - 4x

Karena p adalah bilangan asli genap, maka p ∈ {2, 4, 6, 8, ...}.
Kita ingin nilai p yang terbesar. Untuk mendapatkan nilai p terbesar, kita perlu nilai (16 - 4x) terbesar. Nilai (16 - 4x) terbesar terjadi ketika x terkecil.

Nilai x terkecil adalah x = 1.
Jika x = 1:
p < 16 - 4(1)
p < 16 - 4
p < 12

Karena p adalah bilangan asli genap dan p < 12, maka nilai p terbesar yang mungkin adalah 10.

Mari kita cek apakah p = 10 memenuhi kondisi untuk semua x ∈ {1, 2, 3, 4}:
5x + 10 < x + 16
4x < 6
x < 6/4
x < 1.5

Jika x = 1, maka 1 < 1.5 (Benar).
Jika x = 2, maka 2 < 1.5 (Salah).

Ini berarti p = 10 tidak memenuhi syarat untuk semua nilai x.

Mari kita lihat kembali pertidaksamaan: 5x + p < x + 16
Kita harus memastikan bahwa pertidaksamaan ini benar untuk SEMUA x ∈ {1, 2, 3, 4}.
Ini berarti nilai p harus cukup kecil sehingga bahkan untuk nilai x terbesar (x=4), pertidaksamaan tersebut masih berlaku.

Kita perlu mencari nilai p terbesar sehingga 5x + p < x + 16 benar untuk x = 1, 2, 3, dan 4.
Ini ekuivalen dengan mencari nilai p terbesar sehingga pertidaksamaan tersebut benar untuk nilai x yang membuat sisi kanan (x+16) paling kecil relatif terhadap sisi kiri (5x+p), atau nilai x yang membuat selisihnya paling kecil.

Atau, cara paling aman adalah memastikan bahwa pertidaksamaan benar untuk nilai x terbesar, karena jika benar untuk x terbesar, maka kemungkinan besar benar juga untuk x yang lebih kecil.

Nilai x terbesar adalah 4.
5(4) + p < 4 + 16
20 + p < 20
p < 20 - 20
p < 0

Ini lagi-lagi memberikan hasil yang kontradiktif.

Mari kita pahami ulang soalnya. "Diketahui 5x + p < x + 16, x e {1,2,3,4} dan p bilangan asli genap. Nilai p yang terbesar adalah ...." Ini bisa berarti bahwa pertidaksamaan tersebut harus dipenuhi oleh SETIAP nilai x dalam himpunan tersebut.

Atau bisa juga berarti, ada suatu nilai p sehingga pertidaksamaan ini berlaku untuk setidaknya satu x dalam himpunan tersebut.

Asumsi yang paling umum dalam soal semacam ini adalah bahwa kondisi tersebut harus dipenuhi untuk SEMUA nilai x dalam himpunan yang diberikan.

Jika harus berlaku untuk semua x ∈ {1, 2, 3, 4}:
Kita perlu mencari nilai p terbesar sehingga 4x < 16 - p untuk semua x ∈ {1, 2, 3, 4}.
Ini berarti 16 - p harus lebih besar dari 4x untuk semua x. Nilai 4x terbesar adalah 4 * 4 = 16.
Jadi, kita perlu 16 - p > 16 (jika kita menggunakan '<', maka kita perlu >).

Mari kita tulis ulang: p < 16 - 4x.
Agar ini berlaku untuk semua x, p harus lebih kecil dari nilai terkecil dari (16 - 4x).
Nilai terkecil dari (16 - 4x) terjadi ketika x terbesar, yaitu x = 4.
Nilai terkecil dari (16 - 4x) = 16 - 4(4) = 16 - 16 = 0.
Jadi, p < 0.
Ini masih menghasilkan p negatif, yang tidak mungkin karena p adalah bilangan asli genap.

Mari kita periksa kembali interpretasi soal atau kemungkinan ada kesalahan dalam soal.

Jika soalnya adalah "Nilai p terbesar sehingga ADA x ∈ {1,2,3,4} yang memenuhi 5x + p < x + 16".
Maka kita mencari nilai p terbesar sehingga p < 16 - 4x untuk setidaknya satu x.
Agar p terbesar, kita pilih x terkecil, yaitu x = 1.
p < 16 - 4(1)
p < 12.
Nilai p bilangan asli genap terbesar yang kurang dari 12 adalah 10.

Mari kita uji p = 10:
5x + 10 < x + 16
4x < 6
x < 1.5
Untuk x ∈ {1, 2, 3, 4}, hanya x=1 yang memenuhi.
Jadi, jika interpretasinya adalah 'ada x', maka p=10 adalah jawaban yang benar.

Namun, jika interpretasinya adalah 'untuk semua x', maka tidak ada solusi untuk p bilangan asli genap.

Mengingat format soal pilihan ganda biasanya memiliki jawaban yang valid, mari kita asumsikan interpretasi 'ada x'.

Nilai p terbesar adalah 10.