Diketahui vektor a=(x y 12) dan vektor b=(-2 4 -4). Jika

x=-5, y=0 atau x=3, y=4

Pembahasan

Diketahui:
vektor a = (x y 12)
vektor b = (-2 4 -4)
Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b = -19/3
Panjang vektor a, |a| = 13

Rumus proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b adalah:
(a · b) / |b|

Dimana a · b adalah dot product (hasil kali titik) vektor a dan b, dan |b| adalah panjang vektor b.

a · b = (x)(-2) + (y)(4) + (12)(-4) = -2x + 4y - 48

Panjang vektor b, |b| = √((-2)² + 4² + (-4)²)
|b| = √(4 + 16 + 16)
|b| = √36
|b| = 6

Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar:
(-2x + 4y - 48) / 6 = -19/3
-2x + 4y - 48 = 6 * (-19/3)
-2x + 4y - 48 = 2 * (-19)
-2x + 4y - 48 = -38
-2x + 4y = -38 + 48
-2x + 4y = 10
Dibagi 2: -x + 2y = 5  (Persamaan 1)

Diketahui juga panjang vektor a = 13:
|a| = √(x² + y² + 12²)
13 = √(x² + y² + 144)
Kuadratkan kedua sisi:
13² = x² + y² + 144
169 = x² + y² + 144
x² + y² = 169 - 144
x² + y² = 25  (Persamaan 2)

Dari Persamaan 1, kita bisa nyatakan x dalam y:
x = 2y - 5

Substitusikan x ke Persamaan 2:
(2y - 5)² + y² = 25
(4y² - 20y + 25) + y² = 25
5y² - 20y = 25 - 25
5y² - 20y = 0
5y(y - 4) = 0

Maka, y = 0 atau y = 4.

Jika y = 0:
x = 2(0) - 5 = -5
Jadi, (x, y) = (-5, 0)
Periksa |a|: √((-5)² + 0² + 12²) = √(25 + 0 + 144) = √169 = 13 (Benar)

Jika y = 4:
x = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3
Jadi, (x, y) = (3, 4)
Periksa |a|: √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 (Benar)

Jadi, nilai x dan y adalah (-5, 0) atau (3, 4).