Diketahui 8ax-4bx-4a^3=8a-2a^2 b-4b . a. Faktorkan kedua

a. $4x(2a-b) = (2a-b)(2a^2+4)$ atau $4x(2a-b) = 2(a^2+2)(2a-b)$. b. $x = \frac{a^2}{2} + 1$

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk memanipulasi sebuah persamaan aljabar yang melibatkan variabel a, b, dan x, dan kemudian menyelesaikan untuk x.

Persamaan yang diberikan adalah:
$$ 8ax - 4bx - 4a^3 = 8a - 2a^2 b - 4b $$ 

a. **Faktorkan kedua ruas:**
   *   **Ruas Kiri:** $8ax - 4bx - 4a^3$
       Kita bisa memfaktorkan $4x$ dari dua suku pertama:
       $$ 4x(2a - b) - 4a^3 $$
       Perhatikan bahwa ini tidak langsung terlihat mudah difaktorkan lebih lanjut tanpa informasi tambahan atau pengelompokan yang cerdik.

   *   **Ruas Kanan:** $8a - 2a^2 b - 4b$
       Mari kita coba kelompokkan suku-suku untuk melihat apakah ada faktor bersama.
       $$ (8a - 4b) - (2a^2 b) $$ 
       Ini juga tidak langsung terlihat mudah difaktorkan.

       Mari kita lihat kembali persamaan awal dan coba mengelompokkan ulang:
       $$ 8ax - 4bx - 4a^3 = 8a - 2a^2 b - 4b $$ 
       Pindahkan semua suku ke satu sisi:
       $$ 8ax - 4bx - 4a^3 - 8a + 2a^2 b + 4b = 0 $$ 
       Mari kita coba faktorkan suku-suku yang mengandung $x$ di satu sisi dan sisanya di sisi lain:
       $$ 8ax - 4bx = 4a^3 + 8a - 2a^2 b - 4b $$ 
       Faktorkan $4x$ dari sisi kiri:
       $$ 4x(2a - b) = 4a^3 + 8a - 2a^2 b - 4b $$ 
       Sekarang, kita perlu memfaktorkan ruas kanan. Mari kita coba mengelompokkan suku-suku di ruas kanan:
       $$ 4a^3 + 8a - 2a^2 b - 4b $$ 
       Kelompokkan berdasarkan $a$ dan $b$: 
       $$ (4a^3 - 2a^2 b) + (8a - 4b) $$ 
       Faktorkan $2a^2$ dari kelompok pertama dan $4$ dari kelompok kedua:
       $$ 2a^2 (2a - b) + 4(2a - b) $$ 
       Sekarang kita punya faktor bersama $(2a - b)$:
       $$ (2a - b)(2a^2 + 4) $$ 
       Jadi, ruas kanan yang difaktorkan adalah $(2a - b)(2a^2 + 4)$.

       Sekarang persamaan menjadi:
       $$ 4x(2a - b) = (2a - b)(2a^2 + 4) $$ 
       Kita sudah berhasil memfaktorkan kedua ruas. Faktor bersama $(2a-b)$ muncul di kedua sisi.

b. **Nyatakan x dalam a dan b:**
   Dari persamaan yang sudah difaktorkan:
   $$ 4x(2a - b) = (2a - b)(2a^2 + 4) $$ 
   Untuk menyatakan $x$, kita perlu membagi kedua sisi dengan $4(2a - b)$. Kita harus mengasumsikan bahwa $2a - b \neq 0$ agar pembagian ini valid.
   $$ x = \frac{(2a - b)(2a^2 + 4)}{4(2a - b)} $$ 
   Kita bisa membatalkan faktor $(2a - b)$:
   $$ x = \frac{2a^2 + 4}{4} $$ 
   Sekarang, sederhanakan ekspresi tersebut dengan membagi setiap suku di pembilang dengan 4:
   $$ x = \frac{2a^2}{4} + \frac{4}{4} $$ 
   $$ x = \frac{a^2}{2} + 1 $$ 

   Jadi, $x$ dalam $a$ dan $b$ adalah $x = \frac{a^2}{2} + 1$.