Rata-rata nilai ujian matematika siswa di suatu kelas

Ada 4 kemungkinan jangkauan data nilai yang mungkin, yaitu 0, 2, 4, dan 6.

Pembahasan

Diketahui bahwa rata-rata nilai ujian matematika siswa di suatu kelas dengan 50 siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan nilai tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah 350. Data nilai ujian matematika merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10.

Misalkan jumlah siswa adalah N = 50.
Misalkan nilai-nilai ujian adalah x1, x2, ..., x50.
Jumlah total nilai = Σxi = 350.
Rata-rata awal = Σxi / N = 350 / 50 = 7.

Ketika nilai terendah (min) dan nilai tertinggi (max) dikeluarkan, jumlah siswa menjadi N' = 50 - 2 = 48.
Jumlah nilai baru = Σxi - min - max = 350 - min - max.
Rata-rata baru = (350 - min - max) / 48.

Karena rata-rata tetap sama, maka:
Rata-rata awal = Rata-rata baru
7 = (350 - min - max) / 48
7 * 48 = 350 - min - max
336 = 350 - min - max
min + max = 350 - 336
min + max = 14

Kita tahu bahwa nilai-nilai ujian adalah bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10. Jadi, nilai-nilai yang mungkin adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Nilai terendah (min) haruslah nilai terkecil yang mungkin, dan nilai tertinggi (max) haruslah nilai terbesar yang mungkin dalam data.

Pasangan (min, max) yang mungkin dimana min + max = 14 dan kedua nilai berada dalam rentang {1, ..., 10}:
*   Jika min = 4, maka max = 10. (Valid, karena 4<=10 dan keduanya dalam rentang 1-10)
*   Jika min = 5, maka max = 9. (Valid)
*   Jika min = 6, maka max = 8. (Valid)
*   Jika min = 7, maka max = 7. (Tidak valid, karena nilai terendah dan tertinggi harus berbeda untuk dikeluarkan, atau jika sama, maka kedua nilai tersebut adalah 7. Namun, jika kedua nilai adalah 7, maka nilai terendah adalah 7 dan nilai tertinggi adalah 7. Dalam kasus ini, min+max = 14. Jika kita mengeluarkan kedua nilai 7, jumlahnya menjadi 350 - 7 - 7 = 336. Rata-ratanya 336/48 = 7. Ini masih mungkin. Namun, soal menyebutkan "nilai terendah dan nilai tertinggi", mengimplikasikan keduanya ada dan mungkin berbeda).

Mari kita pertimbangkan kasus jika nilai terendah dan tertinggi sama. Jika min = max = 7, maka mengeluarkan kedua nilai tersebut masih mempertahankan rata-rata. Ini berarti kita memiliki setidaknya dua nilai 7.

Nilai-nilai yang mungkin untuk (min, max) adalah:
(4, 10), (5, 9), (6, 8), (7, 7).

Sekarang kita perlu memeriksa apakah data nilai yang mungkin bisa terjadi dengan jumlah total 350 dan rata-rata 7.

Kita perlu mencari jangkauan data nilai yang mungkin. Jangkauan (Range) = max - min.

*   Jika (min, max) = (4, 10), jangkauan = 10 - 4 = 6.
*   Jika (min, max) = (5, 9), jangkauan = 9 - 5 = 4.
*   Jika (min, max) = (6, 8), jangkauan = 8 - 6 = 2.
*   Jika (min, max) = (7, 7), jangkauan = 7 - 7 = 0.

Untuk memastikan bahwa jangkauan data nilai yang mungkin ada, kita perlu memastikan bahwa ada setidaknya satu kombinasi nilai (selain min dan max) yang memungkinkan jumlah total 350 dengan rata-rata 7, dan nilai-nilai tersebut berada dalam rentang 1 hingga 10.

Kita tahu jumlah total nilai adalah 350, dan rata-ratanya adalah 7. Nilai-nilai adalah bilangan asli dari 1 sampai 10.

Mari kita pertimbangkan kasus ekstrem:
Jika semua 50 siswa mendapat nilai 7, jumlahnya adalah 50 * 7 = 350. Rata-ratanya 7. Jika nilai terendah (7) dan tertinggi (7) dikeluarkan, rata-ratanya tetap 7. Dalam kasus ini, min = 7, max = 7, jangkauan = 0.

Bagaimana jika ada nilai lain?
Misalkan ada nilai 1 (min) dan nilai 10 (max). Maka min + max = 11. Ini tidak memenuhi kondisi min + max = 14. Jadi, kasus (1, 10) tidak mungkin.

Kita perlu mencari kombinasi nilai {1, 2, ..., 10} yang jumlahnya 350, dengan syarat rata-rata tetap 7 setelah nilai min dan max dikeluarkan, yang mengarah pada min + max = 14.

Mari kita periksa jangkauan yang mungkin:
*   Jika jangkauan = 0: min=7, max=7. Jumlah 350. Semua siswa mendapat 7. Ini valid.
*   Jika jangkauan = 2: min=6, max=8. min+max=14. Jumlah 350. Rata-rata 7. Kita perlu 48 siswa lain dengan rata-rata 7. Ini mungkin jika ada nilai 6, 8, dan nilai-nilai lain yang rata-ratanya 7.
*   Jika jangkauan = 4: min=5, max=9. min+max=14. Jumlah 350. Rata-rata 7. Kita perlu 48 siswa lain dengan rata-rata 7.
*   Jika jangkauan = 6: min=4, max=10. min+max=14. Jumlah 350. Rata-rata 7. Kita perlu 48 siswa lain dengan rata-rata 7.

Semua kasus di atas memungkinkan. Jangkauan yang mungkin adalah:

1.  Jangkauan = 0 (jika min=7, max=7)
2.  Jangkauan = 2 (jika min=6, max=8)
3.  Jangkauan = 4 (jika min=5, max=9)
4.  Jangkauan = 6 (jika min=4, max=10)

Jadi, ada 4 kemungkinan jangkauan data nilai yang mungkin.

**Kesimpulan:** Jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak 4.