Diketahui A(1,-2,5), B(2,-4,4), dan C(-1,2,7). Buktikan

A, B, dan C segaris karena vektor AB sejajar dengan vektor BC (vektor BC = -3 * vektor AB). Perbandingan AB:BC adalah 1:3.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa titik A(1,-2,5), B(2,-4,4), dan C(-1,2,7) segaris, kita perlu menunjukkan bahwa vektor AB sejajar dengan vektor BC, dan kedua vektor tersebut memiliki titik pangkal yang sama (atau salah satu titiknya berimpit).

Langkah 1: Hitung vektor AB.
Vektor AB = B - A = (2-1, -4-(-2), 4-5) = (1, -2, -1)

Langkah 2: Hitung vektor BC.
Vektor BC = C - B = (-1-2, 2-(-4), 7-4) = (-3, 6, 3)

Langkah 3: Periksa apakah vektor AB sejajar dengan vektor BC.
Dua vektor sejajar jika salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Artinya, vektor AB = k * vektor BC, atau vektor BC = k * vektor AB untuk suatu skalar k.
Mari kita periksa apakah vektor BC adalah kelipatan dari vektor AB:
(-3, 6, 3) = k * (1, -2, -1)

Dari komponen pertama: -3 = k * 1  => k = -3
Dari komponen kedua: 6 = k * (-2) => k = 6 / (-2) = -3
Dari komponen ketiga: 3 = k * (-1) => k = 3 / (-1) = -3

Karena nilai k konsisten untuk semua komponen (k = -3), maka vektor BC sejajar dengan vektor AB.

Langkah 4: Periksa apakah titik-titik tersebut segaris.
Karena vektor AB sejajar dengan vektor BC dan kedua vektor tersebut memiliki titik B yang sama, maka ketiga titik A, B, dan C terletak pada satu garis lurus.

Langkah 5: Tentukan nilai dari AB:BC.
Panjang vektor AB = |AB| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6)

Panjang vektor BC = |BC| = sqrt((-3)^2 + 6^2 + 3^2) = sqrt(9 + 36 + 9) = sqrt(54)

Karena vektor BC = -3 * vektor AB, ini berarti arah vektor BC berlawanan dengan arah vektor AB, dan panjangnya 3 kali lipat. Namun, untuk perbandingan rasio panjang ruas garis, kita gunakan nilai absolut.

Rasio AB:BC = |AB| : |BC| = sqrt(6) : sqrt(54)

Kita bisa menyederhanakan sqrt(54) = sqrt(9 * 6) = 3 * sqrt(6).

Jadi, rasio AB:BC = sqrt(6) : 3*sqrt(6).

Dengan membagi kedua sisi dengan sqrt(6), kita mendapatkan rasio 1 : 3.

Jadi, AB:BC = 1:3.

Kesimpulan:
Titik A, B, dan C segaris karena vektor AB sejajar dengan vektor BC (vektor BC = -3 * vektor AB).
Perbandingan panjang ruas garis AB terhadap BC adalah 1:3.