Diketahui A, B, C , dan D adalah matriks berukuran 2 x 2

4/(nm)

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat matriks dan determinan.

Penyelesaian:
Diketahui persamaan matriks A + CB^T = CD.
Kita bisa mengatur ulang persamaan tersebut menjadi:
A = CD - CB^T
A = C(D - B^T)
Karena matriks A memiliki invers, maka determinan A tidak sama dengan nol (det(A) \neq 0).
Kita juga diberikan bahwa det(B^T - D) = m dan det(C) = n.
Karena det(B^T - D) = det(-(D - B^T)) = (-1)^k det(D - B^T), di mana k adalah ukuran matriks, dan karena ini adalah matriks 2x2, maka det(B^T - D) = det(D - B^T) = m.
Sekarang kita bisa mencari determinan dari A:
det(A) = det(C(D - B^T))
ndet(A) = det(C) * det(D - B^T)
det(A) = n * m
Soal meminta untuk mencari det(2A^(-1)).
Kita tahu bahwa det(A^(-1)) = 1/det(A).
Juga, untuk matriks berukuran k x k, det(cA) = c^k det(A).
Dalam kasus ini, matriks A berukuran 2x2, sehingga k=2.
Jadi, det(2A^(-1)) = (2)^2 * det(A^(-1))
det(2A^(-1)) = 4 * (1/det(A))
ndet(2A^(-1)) = 4 * (1/(nm))
det(2A^(-1)) = 4/(nm)

Jadi, nilai det(2A^(-1)) adalah 4/(nm).