Diketahui AABC dengan sudut-sudut alpha, beta, dan gamma.

Dengan menggunakan identitas trigonometri (sin gamma = 2 sin(gamma/2)cos(gamma/2) dan 1-cos gamma = 2 sin^2(gamma/2)) dan sifat tangen/kontangen, dapat dibuktikan bahwa alpha = beta, sehingga segitiga ABC sama kaki.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segitiga ABC sama kaki jika berlaku sin gamma = tan beta (1 - cos gamma), kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat segitiga.

Diketahui:
sin gamma = tan beta * (1 - cos gamma)

Kita tahu bahwa tan beta = sin beta / cos beta.
Jadi, sin gamma = (sin beta / cos beta) * (1 - cos gamma)

Karena gamma adalah sudut dalam segitiga, maka 0 < gamma < 180 derajat. Jika gamma = 180 derajat, maka cos gamma = -1, dan 1 - cos gamma = 2. Namun, gamma tidak mungkin 180 derajat dalam segitiga.
Jika 0 < gamma < 180 derajat, maka sin gamma > 0. 

Jika gamma adalah sudut siku-siku (90 derajat), maka cos gamma = 0 dan sin gamma = 1. Persamaan menjadi 1 = tan beta * (1 - 0) => 1 = tan beta. Ini berarti beta = 45 derajat. Jika gamma = 90 dan beta = 45, maka alpha = 180 - 90 - 45 = 45 derajat. Dalam kasus ini, beta = alpha, sehingga segitiga ABC sama kaki.

Sekarang, mari kita tinjau kasus umum:
sin gamma = (sin beta / cos beta) * (1 - cos gamma)

Kita bisa menulis sin gamma sebagai 2 sin(gamma/2) cos(gamma/2).
Kita bisa menulis 1 - cos gamma sebagai 2 sin^2(gamma/2).

Jadi, 2 sin(gamma/2) cos(gamma/2) = (sin beta / cos beta) * (2 sin^2(gamma/2))

Karena gamma dalam segitiga, gamma/2 akan berada di antara 0 dan 90 derajat, sehingga sin(gamma/2) tidak sama dengan 0. Kita bisa membagi kedua sisi dengan 2 sin(gamma/2):

cos(gamma/2) = (sin beta / cos beta) * sin(gamma/2)

cos(gamma/2) / sin(gamma/2) = sin beta / cos beta

cot(gamma/2) = tan beta

Kita tahu bahwa cot(theta) = tan(90 - theta).
Jadi, tan(90 - gamma/2) = tan beta.

Karena beta dan (90 - gamma/2) adalah sudut dalam segitiga atau terkait dengannya, dan tangen memiliki periode 180 derajat, kita bisa memiliki:

90 - gamma/2 = beta + 180k  atau  90 - gamma/2 = 180 - beta + 180k, di mana k adalah bilangan bulat.

Karena beta adalah sudut dalam segitiga (0 < beta < 180) dan gamma/2 (0 < gamma/2 < 90), maka 0 < 90 - gamma/2 < 90. 

Kemungkinan 1: 90 - gamma/2 = beta.
Ini berarti beta + gamma/2 = 90.
Karena alpha + beta + gamma = 180, maka alpha = 180 - (beta + gamma).
Dari beta + gamma/2 = 90, kita dapatkan beta = 90 - gamma/2.
Substitusikan ke alpha:
alpha = 180 - (90 - gamma/2 + gamma)
alpha = 180 - (90 + gamma/2)
alpha = 90 - gamma/2.

Jadi, alpha = beta. Ini membuktikan bahwa segitiga ABC sama kaki.

Kemungkinan 2: 90 - gamma/2 = 180 - beta.
Ini berarti beta - gamma/2 = 90.
Karena beta < 180 dan gamma/2 > 0, maka beta - gamma/2 bisa positif atau negatif. Jika beta - gamma/2 = 90, maka beta = 90 + gamma/2. Karena gamma/2 > 0, maka beta > 90. Jika gamma/2 mendekati 90 (gamma mendekati 180), maka beta mendekati 180, yang tidak mungkin dalam segitiga.

Dengan demikian, satu-satunya kondisi yang valid adalah alpha = beta, yang berarti segitiga ABC sama kaki.

Bukti selesai.