Diketahui bahwa akar-akar persamaan x^(2)+2 x-8=0 adalah

Nilai p yang memenuhi adalah 6.

Pembahasan

Diberikan dua persamaan kuadrat:
Persamaan 1: x^(2) + 2x - 8 = 0, dengan akar-akar x₁ dan x₂.
Persamaan 2: x^(2) + 10x - 16p = 0, dengan akar-akar 3x₁ dan 4x₂.

Dari Persamaan 1, berdasarkan sifat akar persamaan kuadrat (jumlah dan hasil kali akar):
x₁ + x₂ = -b/a = -2/1 = -2
x₁ * x₂ = c/a = -8/1 = -8

Dari Persamaan 2:
3x₁ + 4x₂ = -b/a = -10/1 = -10
(3x₁) * (4x₂) = c/a = -16p/1 = -16p
12 * (x₁ * x₂) = -16p

Kita substitusikan nilai x₁ * x₂ = -8 ke dalam persamaan terakhir:
12 * (-8) = -16p
-96 = -16p
p = -96 / -16
p = 6

Untuk memverifikasi, kita bisa mencari nilai x₁ dan x₂ dari Persamaan 1. Faktorkan x² + 2x - 8 = 0 menjadi (x+4)(x-2) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x₁ = -4 dan x₂ = 2 (atau sebaliknya).
Jika x₁ = -4 dan x₂ = 2:
3x₁ = 3(-4) = -12
4x₂ = 4(2) = 8
Jumlah akar Persamaan 2: 3x₁ + 4x₂ = -12 + 8 = -4. Namun, dari Persamaan 2, jumlah akar seharusnya -10. Ini berarti pemisalan x₁ dan x₂ harus hati-hati.

Mari kita gunakan sistem persamaan untuk kedua akar dari Persamaan 2:
Misalkan akar-akarnya adalah α dan β, di mana α = 3x₁ dan β = 4x₂.
α + β = 3x₁ + 4x₂ = -10
α * β = (3x₁) * (4x₂) = 12(x₁x₂) = 12(-8) = -96

Dari Persamaan 2, hasil kali akar adalah -16p. Jadi:
-16p = -96
p = 6

Sekarang kita cek kembali jumlah akarnya.
Kita punya x₁ + x₂ = -2 dan x₁x₂ = -8.
Kita juga punya 3x₁ + 4x₂ = -10.
Kita bisa menulis ulang 3x₁ + 4x₂ sebagai 3x₁ + 3x₂ + x₂ = 3(x₁ + x₂) + x₂ = -10.
3(-2) + x₂ = -10
-6 + x₂ = -10
x₂ = -4.
Jika x₂ = -4, maka dari x₁ + x₂ = -2, kita dapatkan x₁ + (-4) = -2, sehingga x₁ = 2.
Mari kita cek hasil kali akar: x₁ * x₂ = 2 * (-4) = -8, yang sesuai dengan Persamaan 1.

Sekarang cek akar-akar Persamaan 2: 3x₁ dan 4x₂.
3x₁ = 3(2) = 6
4x₂ = 4(-4) = -16.
Jumlah akar Persamaan 2: 6 + (-16) = -10, yang sesuai.
Hasil kali akar Persamaan 2: 6 * (-16) = -96.
Dari Persamaan 2, hasil kali akar adalah -16p. Jadi, -16p = -96, yang memberikan p = 6.

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 6.