Diketahui bangun segi empat ABCD dengan koordinat titik

M(6,1,1), T(4,2,2), dan B, T, D segaris dengan perbandingan BT:BD = 1:3.

Pembahasan

Diketahui koordinat titik:
A(4, -1, 3)
B(8, 3, -1)
C(0, 4, 4)
D(-4, 0, 8)

a. Menentukan koordinat titik M sebagai titik tengah garis AB:
Titik tengah M dihitung dengan rumus:
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)
M = ((4 + 8)/2, (-1 + 3)/2, (3 + (-1))/2)
M = (12/2, 2/2, 2/2)
M = (6, 1, 1)
Jadi, koordinat titik M adalah (6, 1, 1).

b. Menentukan koordinat titik T yang membagi garis CM dengan perbandingan 2:1:
Titik T dihitung dengan rumus:
T = ((n*x₁ + m*x₂)/(m+n), (n*y₁ + m*y₂)/(m+n), (n*z₁ + m*z₂)/(m+n))
Dengan C(x₁, y₁, z₁) = (0, 4, 4) dan M(x₂, y₂, z₂) = (6, 1, 1), serta perbandingan m:n = 2:1.
T = ((1*0 + 2*6)/(2+1), (1*4 + 2*1)/(2+1), (1*4 + 2*1)/(2+1))
T = ((0 + 12)/3, (4 + 2)/3, (4 + 2)/3)
T = (12/3, 6/3, 6/3)
T = (4, 2, 2)
Jadi, koordinat titik T adalah (4, 2, 2).

c. Menunjukkan bahwa titik B, T, dan D segaris, serta menentukan perbandingan BT:BD:
Untuk menunjukkan bahwa B, T, dan D segaris, kita periksa apakah vektor BT searah dengan vektor TD (atau BD).

Vektor BT = T - B = (4 - 8, 2 - 3, 2 - (-1)) = (-4, -1, 3)
Vektor TD = D - T = (-4 - 4, 0 - 2, 8 - 2) = (-8, -2, 6)

Perhatikan bahwa Vektor TD = 2 * Vektor BT.
Karena Vektor TD adalah kelipatan skalar dari Vektor BT, maka vektor BT dan TD searah, yang berarti titik B, T, dan D segaris.

Perbandingan BT:BD:
Panjang vektor BT = |BT| = sqrt((-4)² + (-1)² + 3²) = sqrt(16 + 1 + 9) = sqrt(26)
Panjang vektor BD = |BD| = |BT + TD| = |BT + 2BT| = |3BT| = 3 * |BT| = 3 * sqrt(26)

Atau, Vektor BD = D - B = (-4 - 8, 0 - 3, 8 - (-1)) = (-12, -3, 9)
Panjang vektor BD = |BD| = sqrt((-12)² + (-3)² + 9²) = sqrt(144 + 9 + 81) = sqrt(234)
sqrt(234) = sqrt(9 * 26) = 3 * sqrt(26)

Jadi, perbandingan BT : BD = sqrt(26) : 3*sqrt(26) = 1:3.