Diketahui barisan bilangan dengan a1, a2, a3,... dengan a1

Pernyataan a_n <= 2^n tidak berlaku untuk n=2 (a2=5, 2^2=4). Pembuktian induksi tidak berhasil karena basis induksi tidak terpenuhi.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa an <= 2^n untuk barisan yang diberikan (a1=2, a2=5, a3=8, dan an = an-1 + an-2 + an-3), kita dapat menggunakan induksi matematika.

Basis Induksi:
Untuk n=1: a1 = 2. Kita periksa apakah a1 <= 2^1, yaitu 2 <= 2. Ini benar.
Untuk n=2: a2 = 5. Kita periksa apakah a2 <= 2^2, yaitu 5 <= 4. Ini salah.

Karena basis induksi tidak terpenuhi untuk n=2, maka pernyataan "an <= 2^n" tidak dapat dibuktikan dengan metode induksi langsung menggunakan basis n=1 dan n=2 seperti di atas.

Mari kita coba periksa beberapa suku pertama:
a1 = 2 <= 2^1 = 2 (Benar)
a2 = 5 <= 2^2 = 4 (Salah)
a3 = 8 <= 2^3 = 8 (Benar)
a4 = a3 + a2 + a1 = 8 + 5 + 2 = 15. Kita periksa apakah a4 <= 2^4, yaitu 15 <= 16. Ini benar.
a5 = a4 + a3 + a2 = 15 + 8 + 5 = 28. Kita periksa apakah a5 <= 2^5, yaitu 28 <= 32. Ini benar.
a6 = a5 + a4 + a3 = 28 + 15 + 8 = 51. Kita periksa apakah a6 <= 2^6, yaitu 51 <= 64. Ini benar.

Terlihat bahwa ketidaksetaraan a_n <= 2^n berlaku untuk n=1, n=3, n=4, n=5, n=6, tetapi tidak untuk n=2. Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau pernyataan yang perlu dibuktikan.

Jika kita mengasumsikan bahwa soalnya benar, dan ada kesalahan pada perhitungan awal, mari kita coba basis induksi yang berbeda, misalnya untuk n=1, n=2, n=3.
Basis Induksi:
Untuk n=1: a1 = 2. 2 <= 2^1 = 2 (Benar)
Untuk n=2: a2 = 5. 5 <= 2^2 = 4 (Salah)
Untuk n=3: a3 = 8. 8 <= 2^3 = 8 (Benar)

Karena untuk n=2 pernyataan tidak berlaku, maka pembuktian dengan induksi matematika seperti ini tidak berhasil membuktikan pernyataan tersebut secara umum untuk semua n >= 1.

Namun, jika kita melihat pola pertumbuhan deret Fibonacci yang mirip, seringkali batas atasnya adalah pangkat dari suatu bilangan. Mari kita coba perbaiki basis induksi atau cara pembuktiannya. Kemungkinan ada kekeliruan dalam soal asli karena a2 > 2^2.