Diketahui barisan tak hingga 1/2, (1/2)^(sin^2 t),

Hasil kali semua suku barisan tersebut adalah 1/16.

Pembahasan

Barisan yang diberikan adalah barisan tak hingga: 1/2, (1/2)^(sin^2 t), (1/2)^(sin^4 t), (1/2)^(sin^6 t), ...

Kita perlu mencari hasil kali semua suku barisan tersebut ketika t = pi/3.

Pertama, mari kita tentukan nilai dari sin(t) ketika t = pi/3:
sin(pi/3) = sqrt(3)/2.

Selanjutnya, kita hitung nilai dari sin^2(t), sin^4(t), dan sin^6(t):
sin^2(t) = (sin(t))^2 = (sqrt(3)/2)^2 = 3/4.
sin^4(t) = (sin^2(t))^2 = (3/4)^2 = 9/16.
sin^6(t) = (sin^2(t))^3 = (3/4)^3 = 27/64.

Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam suku-suku barisan:
Suku ke-1 = 1/2
Suku ke-2 = (1/2)^(sin^2 t) = (1/2)^(3/4)
Suku ke-3 = (1/2)^(sin^4 t) = (1/2)^(9/16)
Suku ke-4 = (1/2)^(sin^6 t) = (1/2)^(27/64)

Barisan ini dapat ditulis ulang sebagai:
(1/2)^1, (1/2)^(3/4), (1/2)^((3/4)^2), (1/2)^((3/4)^3), ...

Perhatikan bahwa eksponennya membentuk barisan geometri: 1, 3/4, (3/4)^2, (3/4)^3, ...
Ini adalah barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 3/4.

Hasil kali semua suku barisan adalah:

(1/2)^1 * (1/2)^(3/4) * (1/2)^(9/16) * (1/2)^(27/64) * ...

Kita dapat menjumlahkan eksponennya karena basisnya sama:
Eksponen total = 1 + 3/4 + (3/4)^2 + (3/4)^3 + ...

Ini adalah jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 3/4. Karena |r| < 1, deret ini konvergen dan jumlahnya adalah:
S = a / (1 - r)
S = 1 / (1 - 3/4)
S = 1 / (1/4)
S = 4.

Jadi, hasil kali semua suku barisan adalah (1/2)^S = (1/2)^4.

(1/2)^4 = 1^4 / 2^4 = 1 / 16.

Oleh karena itu, hasil kali semua suku barisan tersebut adalah 1/16.