Diketahui bilangan real positif a dan b memenuhi persamaan

±1/2

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan dengan bilangan real positif a dan b:
1) a^4 + a^2 b^2 + b^4 = 6
2) a^2 + a b + b^2 = 4

Perhatikan persamaan pertama. Kita bisa memfaktorkannya dengan menambahkan dan mengurangi suku ab^2:
a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 - a^2 b^2 = 6
(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = 6

Ini adalah selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan sebagai (x^2 - y^2) = (x-y)(x+y), di mana x = a^2 + b^2 dan y = ab.
(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab) = 6

Kita tahu dari persamaan kedua bahwa a^2 + ab + b^2 = 4. Substitusikan ini ke dalam faktorisasi persamaan pertama:
(a^2 + b^2 - ab)(4) = 6

Sekarang kita dapat menemukan nilai dari a^2 + b^2 - ab:
a^2 + b^2 - ab = 6 / 4
a^2 + b^2 - ab = 3/2

Sekarang kita memiliki dua persamaan baru:
I) a^2 + ab + b^2 = 4
II) a^2 - ab + b^2 = 3/2

Untuk mencari nilai a - b, kita bisa mengurangkan persamaan II dari persamaan I:
(a^2 + ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 4 - 3/2
a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 8/2 - 3/2
2ab = 5/2
ab = 5/4

Selanjutnya, kita bisa menjumlahkan persamaan I dan II untuk mencari nilai a^2 + b^2:
(a^2 + ab + b^2) + (a^2 - ab + b^2) = 4 + 3/2
2a^2 + 2b^2 = 8/2 + 3/2
2(a^2 + b^2) = 11/2
a^2 + b^2 = 11/4

Sekarang kita dapat menggunakan identitas (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Kita tahu a^2 + b^2 = 11/4 dan ab = 5/4.
(a-b)^2 = (a^2 + b^2) - 2ab
(a-b)^2 = 11/4 - 2(5/4)
(a-b)^2 = 11/4 - 10/4
(a-b)^2 = 1/4

Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
a - b = ±√(1/4)
a - b = ±1/2

Karena kita tidak diberikan informasi lebih lanjut tentang hubungan antara a dan b (misalnya, a > b atau b > a), kedua nilai tersebut dimungkinkan. Namun, jika soal mengasumsikan satu nilai spesifik, biasanya ada konteks tambahan. Dalam konteks soal matematika standar, jika tidak disebutkan, kedua jawaban bisa diterima atau ada konvensi implisit. Jika kita harus memilih satu, kita perlu asumsi tambahan. Jika tidak ada asumsi, keduanya adalah solusi yang valid untuk nilai a-b.

Jawaban Ringkas: ±1/2