Diketahui daerah D1 dibatasi oleh kurva y=1/x^2, y=x , dan

5:8

Pembahasan

Untuk mencari perbandingan luas daerah D1 dan D2, kita perlu menghitung luas masing-masing daerah terlebih dahulu dengan menggunakan integral.

Daerah D1 dibatasi oleh kurva $y=1/x^2$, $y=x$, dan $x=1/2$. Titik potong antara $y=1/x^2$ dan $y=x$ dapat ditemukan dengan menyamakan kedua persamaan:
$x = 1/x^2$
$x^3 = 1$
$x = 1$

Jadi, batas integrasi untuk D1 adalah dari $x=1/2$ hingga $x=1$. Dalam rentang ini, kurva $y=x$ berada di atas kurva $y=1/x^2$ (karena untuk $x$ antara 1/2 dan 1, nilai $x$ lebih besar dari $1/x^2$).

Luas D1 ($L_1$):
$L_1 = \int_{1/2}^{1} (x - 1/x^2) dx$
$L_1 = \int_{1/2}^{1} (x - x^{-2}) dx$
$L_1 = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{x^{-1}}{-1}]_{1/2}^{1}$
$L_1 = [\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x}]_{1/2}^{1}$
$L_1 = (\frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{1}) - (\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{1/2})$
$L_1 = (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + 2)$
$L_1 = \frac{3}{2} - (\frac{1}{8} + 2)$
$L_1 = \frac{3}{2} - \frac{17}{8}$
$L_1 = \frac{12}{8} - \frac{17}{8} = -\frac{5}{8}$

Karena luas tidak mungkin negatif, ada kesalahan dalam menentukan batas atas dan bawah atau fungsi yang di atas dan di bawah. Mari kita periksa kembali. Untuk $x$ antara 1/2 dan 1, misalnya $x=0.7$, $y=x=0.7$ dan $y=1/x^2 = 1/(0.7)^2 = 1/0.49 \approx 2.04$. Jadi $1/x^2$ lebih besar dari $x$ di rentang ini.

Perbaikan Luas D1 ($L_1$):
$L_1 = \int_{1/2}^{1} (1/x^2 - x) dx$
$L_1 = [-\frac{1}{x} - \frac{1}{2}x^2]_{1/2}^{1}$
$L_1 = (-\frac{1}{1} - \frac{1}{2}(1)^2) - (-\frac{1}{1/2} - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2)$
$L_1 = (-1 - \frac{1}{2}) - (-2 - \frac{1}{8})$
$L_1 = -\frac{3}{2} - (-\frac{17}{8})$
$L_1 = -\frac{3}{2} + \frac{17}{8}$
$L_1 = -\frac{12}{8} + \frac{17}{8} = \frac{5}{8}$

Daerah D2 dibatasi oleh kurva $y=1/x^2$, $y=x$, dan $x=2$. Titik potongnya sama, yaitu $x=1$. Jadi, batas integrasi untuk D2 adalah dari $x=1$ hingga $x=2$. Dalam rentang ini, kurva $y=x$ berada di atas kurva $y=1/x^2$ (karena untuk $x > 1$, nilai $x$ lebih besar dari $1/x^2$).

Luas D2 ($L_2$):
$L_2 = \int_{1}^{2} (x - 1/x^2) dx$
$L_2 = [\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x}]_{1}^{2}$
$L_2 = (\frac{1}{2}(2)^2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{1})$
$L_2 = (\frac{1}{2} 	imes 4 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1)$
$L_2 = (2 + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2}$
$L_2 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$
$L_2 = \frac{2}{2} = 1$

Perbandingan Luas D1 dan D2:
Perbandingan $L_1 : L_2 = \frac{5}{8} : 1 = 5 : 8$

Jadi, perbandingan luas daerah D1 dan D2 adalah 5:8.