Diketahui elips dengan persamaan x^2+ 4y^2-4x-8y-92 = 0.

Pusat (2,1), Puncak (12,1) & (-8,1), Fokus (2±5√3,1), Sumbu mayor 20, Sumbu minor 10, Direktriks x = 2 ± (20√3)/3, Eksentrisitas √3/2.

Pembahasan

Persamaan elips yang diberikan adalah x² + 4y² - 4x - 8y - 92 = 0.
Untuk menentukan elemen-elemen elips, kita perlu mengubah persamaan ini ke bentuk standar (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 atau (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Kelompokkan Suku-suku x dan y:**
    (x² - 4x) + (4y² - 8y) = 92

2.  **Lengkapi Kuadrat Sempurna:**
    Untuk suku x: (x² - 4x + 4) - 4
    Untuk suku y: 4(y² - 2y) = 4(y² - 2y + 1) - 4(1) = 4(y-1)² - 4

3.  **Substitusikan Kembali ke Persamaan:**
    [(x - 2)² - 4] + [4(y - 1)² - 4] = 92
    (x - 2)² - 4 + 4(y - 1)² - 4 = 92
    (x - 2)² + 4(y - 1)² = 92 + 4 + 4
    (x - 2)² + 4(y - 1)² = 100

4.  **Bagi dengan Konstanta untuk Mendapatkan Bentuk Standar:**
    Bagi kedua sisi dengan 100:
    (x - 2)² / 100 + 4(y - 1)² / 100 = 1
    (x - 2)² / 100 + (y - 1)² / 25 = 1

Sekarang kita dapat mengidentifikasi elemen-elemen elips:
Bentuk standar: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

a.  **Koordinat Titik Pusat (h, k):**
    Dari persamaan (x - 2)² / 100 + (y - 1)² / 25 = 1, kita dapatkan h = 2 dan k = 1.
    Jadi, titik pusatnya adalah (2, 1).

b.  **Koordinat Titik Puncak:**
    Karena a² = 100 (di bawah suku x), maka sumbu mayor horizontal. a = √100 = 10.
    Titik puncak berada pada (h ± a, k).
    Titik puncak: (2 ± 10, 1)
    Titik puncak 1: (12, 1)
    Titik puncak 2: (-8, 1)

c.  **Koordinat Titik Fokus:**
    b² = 25, maka b = √25 = 5.
    Hubungan antara a, b, dan c (jarak fokus ke pusat) adalah c² = a² - b².
    c² = 100 - 25 = 75
    c = √75 = 5√3
    Titik fokus berada pada (h ± c, k).
    Titik fokus 1: (2 + 5√3, 1)
    Titik fokus 2: (2 - 5√3, 1)

d.  **Panjang Sumbu Mayor dan Sumbu Minor:**
    Panjang sumbu mayor = 2a = 2 * 10 = 20 cm.
    Panjang sumbu minor = 2b = 2 * 5 = 10 cm.

e.  **Persamaan Direktriks:**
    Karena sumbu mayor horizontal, persamaan direktriks adalah x = h ± a²/c.
    x = 2 ± 100 / (5√3)
    x = 2 ± 20/√3
    x = 2 ± (20√3)/3
    Persamaan direktriks 1: x = 2 + (20√3)/3
    Persamaan direktriks 2: x = 2 - (20√3)/3

f.  **Nilai Eksentrisitas (e):**
    e = c / a
    e = (5√3) / 10
    e = √3 / 2