Diketahui empat titik bidang dengan koordinat A(-3, -1),

a. D(0, 3), b. Luas = 60 satuan luas

Pembahasan

Bangun layang-layang adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua pasang sisi yang sama panjang dan berdekatan. Sumbu simetri pada layang-layang adalah salah satu diagonalnya.

Diketahui titik-titik A(-3, -1), B(0, -5), C(12, -1), dan D membentuk bangun layang-layang. Sifat layang-layang yang perlu diperhatikan adalah:
1. Sepasang diagonalnya saling tegak lurus.
2. Salah satu diagonalnya membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang.
3. Sepasang diagonalnya berpotongan di tengah salah satu diagonalnya.

Dari koordinat yang diberikan, kita bisa melihat bahwa titik A dan C memiliki ordinat (nilai y) yang sama, yaitu -1. Ini berarti garis AC adalah horizontal. Panjang AC adalah jarak antara absis A dan C, yaitu |12 - (-3)| = |12 + 3| = 15.

Titik B memiliki koordinat (0, -5). Karena layang-layang memiliki sumbu simetri diagonal, dan AC adalah garis horizontal, maka diagonal lainnya (BD) haruslah garis vertikal yang tegak lurus terhadap AC. Titik B berada pada x=0. Sifat layang-layang adalah diagonalnya berpotongan dan salah satu diagonal membagi diagonal lainnya sama panjang. Garis AC adalah sumbu simetri dari layang-layang jika B dan D simetris terhadap garis AC. Namun, dalam layang-layang ABCD, diagonal AC dan BD adalah sumbu simetri.

Karena AC horizontal (y=-1), maka diagonal BD harus vertikal. Titik B memiliki koordinat (0, -5). Titik D harus memiliki absis yang sama dengan titik B jika BD adalah diagonal tegak lurus dan berpotongan pada sumbu simetri, namun dalam layang-layang, diagonalnya berpotongan tegak lurus. Kita perlu mencari titik D sehingga AB = AD atau CB = CD.

Misalkan titik potong kedua diagonal adalah O. Karena AC horizontal, O memiliki y = -1. Karena BD vertikal, O memiliki x = koordinat x dari B dan D. Jadi, O = (x_D, -1).

Jika kita asumsikan AC adalah diagonal terpanjang yang membagi diagonal BD, maka titik potong O adalah pada sumbu simetri. Namun, dari bentuk titik A, B, C, kita bisa melihat bahwa AC adalah sumbu simetri. Maka, B dan D harus simetris terhadap garis AC. Ini berarti B dan D harus memiliki koordinat x yang sama dan jarak yang sama dari garis AC. Namun, koordinat x B adalah 0, dan titik C adalah 12, A adalah -3. Ini tidak cocok. 

Mari kita gunakan sifat bahwa diagonal-diagonalnya tegak lurus. AC adalah garis y=-1. Maka diagonal BD haruslah garis vertikal. Titik B berada di (0, -5). Titik D harus berada pada garis x=0 agar BD vertikal dan tegak lurus AC. Jadi D memiliki koordinat (0, y_D). Titik potong O adalah (0, -1).

Panjang AO = |-3 - 0| = 3. Panjang OC = |12 - 0| = 12. Karena AO 
eq OC, maka B dan D adalah simetri terhadap AC, dan BD adalah sumbu simetri, atau sebaliknya. 

Jika BD adalah sumbu simetri, maka A dan C harus simetris terhadap BD. Karena BD vertikal (x=0), maka A dan C harus memiliki y yang sama dan x yang berlawanan. Ini tidak terjadi (A=(-3,-1), C=(12,-1)).

Jika AC adalah sumbu simetri, maka B dan D harus simetris terhadap AC. Garis AC adalah y=-1. Maka B dan D harus memiliki x yang sama dan y yang berlawanan terhadap garis y=-1. Koordinat x B adalah 0. Maka D juga harus memiliki koordinat x=0. Koordinat y B adalah -5. Jarak B dari AC adalah |-1 - (-5)| = 4. Maka D harus berada di atas AC sejauh 4 satuan, yaitu y = -1 + 4 = 3. Jadi D = (0, 3).

Mari kita cek sifat layang-layang dengan D(0,3):
AB = sqrt((0 - (-3))^2 + (-5 - (-1))^2) = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
AD = sqrt((0 - (-3))^2 + (3 - (-1))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
Jadi, AB = AD = 5.
CB = sqrt((0 - 12)^2 + (-5 - (-1))^2) = sqrt((-12)^2 + (-4)^2) = sqrt(144 + 16) = sqrt(160)
CD = sqrt((0 - 12)^2 + (3 - (-1))^2) = sqrt((-12)^2 + 4^2) = sqrt(144 + 16) = sqrt(160)
Jadi, CB = CD = sqrt(160).

Ini memenuhi syarat layang-layang karena memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan berdekatan.

a. Koordinat titik D adalah (0, 3).

b. Luas daerah layang-layang ABCD.
Luas layang-layang dapat dihitung dengan rumus: Luas = 1/2 * d1 * d2, di mana d1 dan d2 adalah panjang kedua diagonalnya.
Diagonal 1 (AC): Jarak antara A(-3, -1) dan C(12, -1).
AC = |12 - (-3)| = |12 + 3| = 15.
Diagonal 2 (BD): Jarak antara B(0, -5) dan D(0, 3).
BD = |3 - (-5)| = |3 + 5| = 8.

Luas = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 15 * 8 = 1/2 * 120 = 60.

Jadi, luas daerah layang-layang ABCD adalah 60 satuan luas.