Diketahui f'(a)=lim h->0 (f(a+h)-f(a))/h. Nilai dari

a f'(a) - f(a)

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan definisi turunan dari sebuah fungsi dan manipulasi aljabar untuk menemukan nilai limit. Diberikan definisi turunan f'(a) = lim h->0 (f(a+h)-f(a))/h. Kita diminta untuk mencari nilai dari ekspresi lim (x-a)->0 (a f(x)-x f(a))/(x-a). Perhatikan bahwa jika kita substitusi x = a ke dalam ekspresi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, yang menunjukkan bahwa kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. Mari kita manipulasi ekspresi tersebut: a f(x) - x f(a) = a f(x) - a f(a) - x f(a) + a f(a) = a(f(x) - f(a)) - f(a)(x - a). Sekarang kita masukkan kembali ke dalam limit: lim (x-a)->0 [a(f(x) - f(a)) - f(a)(x - a)] / (x-a). Kita bisa memisahkan limit ini menjadi dua bagian: lim (x-a)->0 [a(f(x) - f(a)) / (x-a)] - lim (x-a)->0 [f(a)(x - a) / (x-a)]. Bagian pertama dapat ditulis sebagai a * lim (x-a)->0 [(f(x) - f(a)) / (x-a)]. Sesuai definisi turunan, lim (x-a)->0 [(f(x) - f(a)) / (x-a)] sama dengan f'(a). Bagian kedua, lim (x-a)->0 [f(a)(x - a) / (x-a)], dapat disederhanakan dengan membatalkan (x-a) pada pembilang dan penyebut, sehingga menjadi lim (x-a)->0 f(a), yang nilainya adalah f(a). Jadi, ekspresi tersebut menjadi: a * f'(a) - f(a). Oleh karena itu, nilai dari ekspresi lim (x-a)->0 (a f(x)-x f(a))/(x-a) adalah a f'(a) - f(a).