Diketahui F(x)={0, untuk x<0 1/16, untuk 0<= x<1 5/16,

1/2

Pembahasan

Dalam soal ini, kita diberikan fungsi distribusi kumulatif (merujuk pada notasi P(X=x) yang merupakan probabilitas diskrit) dan diminta untuk menghitung P(X=1) + P(X=3).

Fungsi yang diberikan adalah:
F(x) = 0, untuk x < 0
F(x) = 1/16, untuk 0 <= x < 1
F(x) = 5/16, untuk 1 <= x < 2
F(x) = 11/16, untuk 2 <= x < 3
F(x) = 15/16, untuk 3 <= x < 4
F(x) = 1, untuk x >= 4

Kita perlu mencari nilai P(X=1) dan P(X=3).

Dalam konteks fungsi distribusi kumulatif F(x) untuk variabel acak diskrit, P(X=k) = F(k) - F(k-1).

Namun, dalam soal ini, nilai F(x) tampaknya langsung merepresentasikan P(X <= x). Mari kita interpretasikan nilai F(x) sebagai probabilitas pada interval tertentu. 

Jika F(x) adalah fungsi massa probabilitas (Probability Mass Function/PMF) yang merepresentasikan P(X=x), maka:

P(X=1) adalah nilai fungsi ketika x=1. Dari definisi fungsi, ketika 1 <= x < 2, F(x) = 5/16. Jadi, P(X=1) = 5/16.

P(X=3) adalah nilai fungsi ketika x=3. Dari definisi fungsi, ketika 3 <= x < 4, F(x) = 15/16. Jadi, P(X=3) = 15/16.

Sekarang kita hitung P(X=1) + P(X=3):
P(X=1) + P(X=3) = 5/16 + 15/16
P(X=1) + P(X=3) = 20/16

Kita bisa menyederhanakan pecahan ini:
20/16 = 5/4

Namun, probabilitas tidak bisa lebih dari 1. Mari kita interpretasikan F(x) sebagai nilai probabilitas pada interval tersebut, yang berarti P(0 <= X < 1) = 1/16, P(1 <= X < 2) = 5/16, dst.

Dalam kasus ini, P(X=1) adalah probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai tepat 1. Berdasarkan definisi, ini termasuk dalam interval [1, 2). Jadi, P(X=1) = 5/16. 

P(X=3) adalah probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai tepat 3. Berdasarkan definisi, ini termasuk dalam interval [3, 4). Jadi, P(X=3) = 15/16.

Jika F(x) adalah fungsi massa probabilitas, maka P(X=1) = 5/16 dan P(X=3) = 15/16.

P(X=1) + P(X=3) = 5/16 + 15/16 = 20/16 = 5/4.

Kemungkinan lain adalah F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif (CDF), F(x) = P(X <= x).
Jika demikian, maka:
P(X=1) = F(1) - F(1-) = F(1) - F(0). Dalam kasus diskrit, ini seringkali F(1) - F(0) jika 1 adalah titik diskrit.

Mari kita asumsikan F(x) adalah PMF (Probability Mass Function) yang didefinisikan pada titik-titik x tertentu, tetapi formatnya diberikan per interval. Mari kita asumsikan bahwa nilai F(x) yang diberikan adalah probabilitas untuk nilai x di awal interval tersebut, dan kemudian ada lompatan.

Jika kita mengasumsikan bahwa F(x) yang diberikan adalah P(X=x) pada titik x:
- P(X=0) = 1/16
- P(X=1) = 5/16
- P(X=2) = 11/16
- P(X=3) = 15/16
- P(X=4) = 1

Dalam interpretasi ini, P(X=1) = 5/16 dan P(X=3) = 15/16.

P(X=1) + P(X=3) = 5/16 + 15/16 = 20/16 = 5/4.

Ini masih menghasilkan probabilitas lebih dari 1, yang tidak mungkin. Mari kita periksa ulang definisi. 

Kemungkinan interpretasi lain: nilai F(x) adalah nilai fungsi massa probabilitas untuk nilai integer.
- P(X=0) = 1/16
- P(X=1) = 5/16
- P(X=2) = 11/16
- P(X=3) = 15/16

Jika ini adalah fungsi massa probabilitas, maka jumlah seluruh probabilitas harus 1. Jumlahkan nilai-nilai yang diberikan: 1/16 + 5/16 + 11/16 + 15/16 = 32/16 = 2. Ini juga tidak benar.

Mari kita asumsikan F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif (CDF), F(x) = P(X <= x).

P(X=1) = F(1) - F(0).
Menurut definisi: F(1) adalah nilai pada interval [1, 2), yaitu 5/16. F(0) adalah nilai pada interval [0, 1), yaitu 1/16.
P(X=1) = 5/16 - 1/16 = 4/16 = 1/4.

P(X=3) = F(3) - F(2).
Menurut definisi: F(3) adalah nilai pada interval [3, 4), yaitu 15/16. F(2) adalah nilai pada interval [2, 3), yaitu 11/16.
P(X=3) = 15/16 - 11/16 = 4/16 = 1/4.

Jadi, P(X=1) + P(X=3) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

Mari kita cek apakah total probabilitasnya 1 dengan interpretasi ini:
P(X=0) = F(0) - F(-1) = 1/16 - 0 = 1/16.
P(X=1) = F(1) - F(0) = 5/16 - 1/16 = 4/16.
P(X=2) = F(2) - F(1) = 11/16 - 5/16 = 6/16.
P(X=3) = F(3) - F(2) = 15/16 - 11/16 = 4/16.
P(X>=4) = 1 - F(3) = 1 - 15/16 = 1/16. (Ini mencakup P(X=4), P(X=5), dst).

Jumlahkan probabilitas: 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 16/16 = 1. Ini konsisten.

Oleh karena itu, interpretasi F(x) sebagai CDF (Cumulative Distribution Function) adalah yang benar.

P(X=1) = 1/4
P(X=3) = 1/4

P(X=1) + P(X=3) = 1/4 + 1/4 = 1/2.