Diketahui f(x)=(1-x)/x untuk setiap bilangan real x=/=0.

g^(-1)(x) = (3-x) / (x-1)

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = (1-x)/x dan (gof)(x) = g(f(x)) = 2x + 1. Kita perlu mencari fungsi invers dari g, yaitu g^(-1)(x).

Misalkan y = f(x), maka y = (1-x)/x.
Untuk mencari invers dari f, kita ubah x menjadi y dan y menjadi x:
x = (1-y)/y
xy = 1-y
xy + y = 1
y(x+1) = 1
y = 1/(x+1).
Jadi, f^(-1)(x) = 1/(x+1).

Kita tahu bahwa (gof)(x) = g(f(x)) = 2x + 1.
Jika kita misalkan z = f(x), maka x = f^(-1)(z) = 1/(z+1).
Substitusikan x dalam persamaan (gof)(x):
g(z) = 2 * f^(-1)(z) + 1
g(z) = 2 * (1/(z+1)) + 1
g(z) = 2/(z+1) + (z+1)/(z+1)
g(z) = (2 + z + 1) / (z+1)
g(z) = (z+3) / (z+1).

Sekarang kita punya fungsi g(z) = (z+3) / (z+1). Untuk mencari fungsi invers g^(-1)(x), kita ganti z dengan x, lalu cari inversnya.
Misalkan y = g(x) = (x+3) / (x+1).
Ganti x dengan y dan y dengan x:
x = (y+3) / (y+1).
Kalikan kedua sisi dengan (y+1):
x(y+1) = y+3
xy + x = y+3
xy - y = 3 - x
y(x-1) = 3 - x
y = (3-x) / (x-1).

Jadi, fungsi invers g^(-1)(x) adalah (3-x) / (x-1).