Diketahui f(x)=2x-13, g^(-1)(x)=(x+4)/5, dan

19

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari (fo(goh))⁻¹(3). Ini berarti kita perlu mencari nilai x sedemikian rupa sehingga f(g(h(x))) = 3.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Cari invers dari h(x), yaitu h⁻¹(x).
   Diberikan h⁻¹(x) = 5x + 7. Untuk mencari h(x), kita misalkan y = h⁻¹(x), jadi y = 5x + 7. Kemudian kita selesaikan untuk x: x = (y - 7)/5. Jadi, h(x) = (x - 7)/5.

2. Cari invers dari g(x), yaitu g⁻¹(x).
   Diberikan g⁻¹(x) = (x + 4)/5. Untuk mencari g(x), kita misalkan y = g⁻¹(x), jadi y = (x + 4)/5. Kemudian kita selesaikan untuk x: 5y = x + 4, sehingga x = 5y - 4. Jadi, g(x) = 5x - 4.

3. Kita juga diberikan f(x) = 2x - 13.

4. Kita perlu mencari (fogoh)⁻¹(3). Ingat bahwa (fogoh)⁻¹ = h⁻¹og⁻¹of⁻¹. Namun, kita diberikan fungsi inversnya langsung, jadi kita bisa menggunakan properti bahwa jika F(x) = y, maka F⁻¹(y) = x.

Kita perlu mencari nilai x sehingga f(g(h(x))) = 3.
Mari kita kerjakan dari dalam ke luar:
   a. Cari h(x).
   b. Cari g(h(x)).
   c. Cari f(g(h(x))).
   d. Setel hasil f(g(h(x))) = 3 dan selesaikan untuk x.

Cara lain yang lebih mudah adalah menggunakan sifat invers:
(fogoh)⁻¹(3) = h⁻¹(g⁻¹(f⁻¹(3))).

Langkah 1: Cari f⁻¹(3).
Misalkan f(x) = 3.
2x - 13 = 3
2x = 16
x = 8
Jadi, f⁻¹(3) = 8.

Langkah 2: Cari g⁻¹(f⁻¹(3)), yaitu g⁻¹(8).
Kita punya g⁻¹(x) = (x + 4)/5.
Substitusikan x = 8:
g⁻¹(8) = (8 + 4)/5 = 12/5.

Langkah 3: Cari h⁻¹(g⁻¹(f⁻¹(3))), yaitu h⁻¹(12/5).
Kita punya h⁻¹(x) = 5x + 7.
Substitusikan x = 12/5:
h⁻¹(12/5) = 5 * (12/5) + 7
h⁻¹(12/5) = 12 + 7
h⁻¹(12/5) = 19.

Jadi, nilai (fo(goh))⁻¹(3) adalah 19.