Jika df(x)/dx=x^3+x^(-3) dan f(1)=-3/8, maka integral 1 2

Nilai dari integral 1 sampai 2 f(x) dx adalah 47/40.

Pembahasan

Diberikan df(x)/dx = x^3 + x^(-3) dan f(1) = -3/8. Kita perlu mencari nilai dari integral dari 1 sampai 2 f(x) dx.

Langkah 1: Cari f(x) dengan mengintegralkan df(x)/dx.
∫(x^3 + x^(-3)) dx = x^(3+1)/(3+1) + x^(-3+1)/(-3+1) + C
= x^4/4 + x^(-2)/(-2) + C
= x^4/4 - 1/(2x^2) + C
Jadi, f(x) = x^4/4 - 1/(2x^2) + C.

Langkah 2: Gunakan kondisi f(1) = -3/8 untuk mencari nilai C.
f(1) = (1)^4/4 - 1/(2(1)^2) + C
-3/8 = 1/4 - 1/2 + C
-3/8 = 1/4 - 2/4 + C
-3/8 = -1/4 + C
C = -3/8 + 1/4
C = -3/8 + 2/8
C = -1/8
Jadi, f(x) = x^4/4 - 1/(2x^2) - 1/8.

Langkah 3: Hitung integral dari 1 sampai 2 f(x) dx.
∫[dari 1 sampai 2] (x^4/4 - 1/(2x^2) - 1/8) dx
= [x^5/(4*5) - 1/(2*(-1)x) - x/8] [dari 1 sampai 2]
= [x^5/20 + 1/(2x) - x/8] [dari 1 sampai 2]

Evaluasi pada batas atas (x=2):
(2^5)/20 + 1/(2*2) - 2/8
= 32/20 + 1/4 - 1/4
= 32/20 = 8/5

Evaluasi pada batas bawah (x=1):
(1^5)/20 + 1/(2*1) - 1/8
= 1/20 + 1/2 - 1/8
= 2/40 + 20/40 - 5/40
= 17/40

Kurangkan nilai batas bawah dari nilai batas atas:
8/5 - 17/40
= 64/40 - 17/40
= 47/40

Jadi, integral 1 sampai 2 f(x) dx = 47/40.