Diketahui f(x)= 5log (x+4)+ 5log (1/x-2), maka nilai

f^(-1)(5log 4) = (-11 + √153) / 4.

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = 5log(x+4) + 5log(1/x-2) dan kita perlu mencari nilai f^(-1)(5log 4).

Pertama, mari kita sederhanakan fungsi f(x) menggunakan sifat logaritma: log a + log b = log (ab).
Jadi, f(x) = 5log[(x+4)(1/x-2)]
f(x) = 5log[(x+4)(1-2x)/x]
f(x) = 5log[(x + 4 - 2x^2 - 8x)/x]
f(x) = 5log[(-2x^2 - 7x + 4)/x]

Kita perlu mencari nilai y sedemikian sehingga f(y) = 5log 4.
5log[(-2y^2 - 7y + 4)/y] = 5log 4

Karena basis logaritma sama, kita bisa menyamakan argumennya:
(-2y^2 - 7y + 4)/y = 4

Kalikan kedua sisi dengan y (dengan asumsi y ≠ 0):
-2y^2 - 7y + 4 = 4y

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
-2y^2 - 7y - 4y + 4 = 0
-2y^2 - 11y + 4 = 0

Kalikan dengan -1 agar koefisien y^2 positif:
2y^2 + 11y - 4 = 0

Sekarang kita cari nilai y (yang merupakan f^(-1)(5log 4)) dengan menggunakan rumus kuadratik y = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a.
Di sini, a=2, b=11, c=-4.

y = [-11 ± sqrt(11^2 - 4 * 2 * -4)] / (2 * 2)
y = [-11 ± sqrt(121 + 32)] / 4
y = [-11 ± sqrt(153)] / 4

Kita juga perlu mempertimbangkan domain dari fungsi f(x). Agar logaritma terdefinisi, argumennya harus positif.
x+4 > 0  => x > -4
1/x - 2 > 0 => 1/x > 2 => 0 < x < 1/2
Jadi, domain f(x) adalah 0 < x < 1/2.

Mari kita periksa apakah nilai y yang kita dapatkan berada dalam domain tersebut.
√153 kira-kira antara √144 (12) dan √169 (13), sekitar 12.37.

y1 = (-11 + 12.37) / 4 = 1.37 / 4 = 0.3425
Nilai ini (0.3425) berada dalam domain 0 < x < 1/2.

y2 = (-11 - 12.37) / 4 = -23.37 / 4 = -5.8425
Nilai ini (-5.8425) tidak berada dalam domain 0 < x < 1/2.

Oleh karena itu, nilai f^(-1)(5log 4) adalah (-11 + √153) / 4.