Tentukan bayangan lingkaran x^2+y^2-2x=0 akibat dirotasikan

Bayangan lingkaran adalah x^2 + y^2 - 4√2 x - 4√2 y = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan lingkaran x^2+y^2-2x=0 setelah rotasi 45 derajat terhadap titik O dan dilatasi dengan faktor skala 4, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Rotasi Lingkaran:**
    Persamaan lingkaran dapat ditulis ulang sebagai (x-1)^2 + y^2 = 1. Ini adalah lingkaran dengan pusat (1, 0) dan jari-jari 1.
    Saat dirotasikan sebesar 45 derajat mengelilingi titik O(0,0), pusat lingkaran (1,0) akan berpindah ke titik (x', y'). Rumus rotasi adalah:
x' = x cos(theta) - y sin(theta)
y' = x sin(theta) + y cos(theta)

    Dengan theta = 45 derajat, cos(45) = sin(45) = 1/√2.
    Untuk pusat (1,0):
x' = 1 * (1/√2) - 0 * (1/√2) = 1/√2
y' = 1 * (1/√2) + 0 * (1/√2) = 1/√2
    Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (1/√2, 1/√2).
    Rotasi tidak mengubah jari-jari, jadi jari-jarinya tetap 1.
    Persamaan lingkaran setelah rotasi adalah (x - 1/√2)^2 + (y - 1/√2)^2 = 1^2.

2.  **Dilatasi Lingkaran:**
    Selanjutnya, lingkaran ini didilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4. Dilatasi dengan faktor skala k akan mengubah jarak dari pusat O menjadi k kali jarak semula. Jika pusat lingkaran yang didilatasi adalah (h, k) dan jari-jarinya r, maka setelah dilatasi dengan faktor k terhadap O, pusat baru menjadi (kh, kk) dan jari-jari baru menjadi kr.

    Pusat lingkaran setelah rotasi adalah (1/√2, 1/√2) dan jari-jarinya adalah 1.
    Setelah dilatasi dengan faktor skala 4:
    Pusat baru = (4 * 1/√2, 4 * 1/√2) = (4/√2, 4/√2) = (2√2, 2√2).
    Jari-jari baru = 4 * 1 = 4.

    Persamaan lingkaran setelah dilatasi adalah:
    (x - 2√2)^2 + (y - 2√2)^2 = 4^2
    (x - 2√2)^2 + (y - 2√2)^2 = 16

    Jika dijabarkan:
x^2 - 4√2 x + 8 + y^2 - 4√2 y + 8 = 16
x^2 + y^2 - 4√2 x - 4√2 y + 16 = 16
x^2 + y^2 - 4√2 x - 4√2 y = 0

**Jawaban Ringkas:** Bayangan lingkaran adalah x^2 + y^2 - 4√2 x - 4√2 y = 0.