Diketahui f(x)=akar(x^2+mx+n)-akar(x^2+xn+m). Jika limit x

a. m=9, n=4. b. Syarat agar f(0) terdefinisi adalah m>=0 dan n>=0, yang telah terpenuhi.

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = akar(x^2 + mx + n) - akar(x^2 + nx + m).
Diketahui juga bahwa limit x mendekati tak hingga f(x) = 2.5 dan f(0) = -1.

Kita akan menentukan nilai m dan n, serta batas-batas x yang memenuhi f(0) = -1.

Langkah 1: Menggunakan informasi f(0) = -1
Substitusikan x = 0 ke dalam fungsi f(x):
f(0) = akar(0^2 + m(0) + n) - akar(0^2 + n(0) + m)
f(0) = akar(n) - akar(m)

Karena f(0) = -1, maka:
akar(n) - akar(m) = -1

Ini adalah persamaan pertama yang menghubungkan m dan n.

Langkah 2: Menggunakan informasi limit x mendekati tak hingga f(x) = 2.5
Untuk mencari limit saat x mendekati tak hingga, kita perlu memanipulasi fungsi f(x) agar bentuknya lebih mudah dianalisis. Kita bisa mengalikan dengan akar sekawan:

f(x) = [akar(x^2 + mx + n) - akar(x^2 + nx + m)] * [akar(x^2 + mx + n) + akar(x^2 + nx + m)] / [akar(x^2 + mx + n) + akar(x^2 + nx + m)]

f(x) = [(x^2 + mx + n) - (x^2 + nx + m)] / [akar(x^2 + mx + n) + akar(x^2 + nx + m)]

f(x) = [mx + n - nx - m] / [akar(x^2 + mx + n) + akar(x^2 + nx + m)]

f(x) = [(m-n)x + (n-m)] / [akar(x^2 + mx + n) + akar(x^2 + nx + m)]

Untuk limit tak hingga, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau akar(x^2)).

Limit x->tak hingga f(x) = Limit x->tak hingga [((m-n)x + (n-m))/x] / [akar(x^2 + mx + n)/akar(x^2) + akar(x^2 + nx + m)/akar(x^2)]

Limit x->tak hingga f(x) = Limit x->tak hingga [(m-n) + (n-m)/x] / [akar(1 + m/x + n/x^2) + akar(1 + n/x + m/x^2)]

Saat x mendekati tak hingga, suku dengan 1/x dan 1/x^2 akan mendekati 0.

Limit x->tak hingga f(x) = (m-n) / [akar(1) + akar(1)]
Limit x->tak hingga f(x) = (m-n) / (1 + 1)
Limit x->tak hingga f(x) = (m-n) / 2

Kita diberikan bahwa limit x->tak hingga f(x) = 2.5, jadi:
(m-n) / 2 = 2.5
m - n = 5

Ini adalah persamaan kedua yang menghubungkan m dan n.

Langkah 3: Menyelesaikan sistem persamaan untuk m dan n
Kita punya dua persamaan:
1) akar(n) - akar(m) = -1
2) m - n = 5

Dari persamaan (2), kita bisa nyatakan m = n + 5.
Substitusikan m ke persamaan (1):
akar(n) - akar(n + 5) = -1
akar(n) + 1 = akar(n + 5)

Kuadratkan kedua sisi:
(akar(n) + 1)^2 = (akar(n + 5))^2
n + 2*akar(n) + 1 = n + 5

Kurangi n dari kedua sisi:
2*akar(n) + 1 = 5
2*akar(n) = 4
akar(n) = 2

Kuadratkan kedua sisi untuk mendapatkan n:
n = 4

Sekarang substitusikan nilai n kembali ke persamaan m = n + 5:
m = 4 + 5
m = 9

Jadi, nilai m = 9 dan n = 4.

Langkah 4: Menentukan batas-batas x yang memenuhi f(0) = -1.
Informasi f(0) = -1 sudah kita gunakan untuk mencari hubungan antara m dan n. Nilai m=9 dan n=4 sudah memenuhi kondisi tersebut. Pertanyaan ini tampaknya mengacu pada syarat agar akar(n) dan akar(m) terdefinisi, yang mana diperlukan agar f(0) terdefinisi.

Agar akar(n) terdefinisi, n harus >= 0. Dalam kasus ini, n=4, yang memenuhi.
Agar akar(m) terdefinisi, m harus >= 0. Dalam kasus ini, m=9, yang memenuhi.

Selanjutnya, kita perlu memastikan bahwa ekspresi di dalam akar pada fungsi f(x) tidak negatif untuk nilai x yang relevan, terutama saat x mendekati 0 atau saat kita melakukan manipulasi aljabar. Namun, pertanyaan ini spesifik menanyakan batas x yang memenuhi f(0)=-1, yang sudah kita selesaikan dengan menemukan nilai m dan n.

Jika pertanyaan ini bermaksud menanyakan domain fungsi f(x) secara umum, maka kita perlu:
x^2 + mx + n >= 0  => x^2 + 9x + 4 >= 0
x^2 + nx + m >= 0  => x^2 + 4x + 9 >= 0

Untuk x^2 + 9x + 4 >= 0:
Diskriminan D1 = 9^2 - 4(1)(4) = 81 - 16 = 65.
Akarnya adalah x = (-9 +/- akar(65))/2.
Jadi, x^2 + 9x + 4 >= 0 saat x <= (-9 - akar(65))/2 atau x >= (-9 + akar(65))/2.

Untuk x^2 + 4x + 9 >= 0:
Diskriminan D2 = 4^2 - 4(1)(9) = 16 - 36 = -20.
Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif, maka x^2 + 4x + 9 selalu positif untuk semua bilangan real x.

Namun, karena pertanyaan secara spesifik menanyakan batas x yang memenuhi f(0)=-1, dan nilai m dan n sudah ditemukan, kita dapat menyimpulkan bahwa kondisi f(0)=-1 dipenuhi oleh nilai m=9 dan n=4. Tidak ada batasan nilai x yang lebih spesifik yang timbul dari kondisi f(0)=-1 itu sendiri, selain syarat agar akar terdefinisi di x=0, yaitu m>=0 dan n>=0.

Jawaban:
a. Nilai m = 9 dan n = 4.
b. Batas-batas x yang memenuhi f(0) = -1: Kondisi f(0) = -1 telah digunakan untuk menentukan nilai m dan n. Nilai m=9 dan n=4 memastikan bahwa f(0) terdefinisi dan bernilai -1. Jika yang dimaksud adalah domain fungsi agar f(0) terdefinisi, maka syaratnya adalah m>=0 dan n>=0, yang mana telah terpenuhi.