Diketahui f(x)=akar(x+2akar(x)). Nilai f'(4)=

3√2/16

Pembahasan

Untuk menentukan nilai turunan pertama dari fungsi f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x}} pada x=4, kita perlu mencari f'(x) terlebih dahulu.

Misalkan u = x + 2x^(1/2).
Maka f(x) = \sqrt{u} = u^(1/2).

Menggunakan aturan rantai, f'(x) = du/dx * du/dx.

1. Cari turunan dari u terhadap x (du/dx):
Jika u = x + 2x^(1/2),
Maka du/dx = d/dx(x) + d/dx(2x^(1/2))
du/dx = 1 + 2 * (1/2)x^((1/2)-1)
du/dx = 1 + x^(-1/2)
du/dx = 1 + 1/\sqrt{x}

2. Cari turunan dari f(u) terhadap u (df/du):
Jika f(u) = u^(1/2),
Maka df/du = (1/2)u^((1/2)-1)
df/du = (1/2)u^(-1/2)
df/du = 1 / (2\sqrt{u})

3. Substitusikan kembali u = x + 2\sqrt{x} ke dalam df/du:
df/du = 1 / (2\sqrt{x + 2\sqrt{x}})

4. Gabungkan menggunakan aturan rantai: f'(x) = df/du * du/dx
f'(x) = [1 / (2\sqrt{x + 2\sqrt{x}})] * [1 + 1/\sqrt{x}]

Sekarang, substitusikan x = 4 ke dalam f'(x):

Pertama, hitung bagian dalam akar kuadrat di penyebut:
4 + 2\sqrt{4} = 4 + 2(2) = 4 + 4 = 8

Kedua, hitung \sqrt{4}:
\sqrt{4} = 2

Ketiga, hitung bagian kedua dari perkalian:
1 + 1/\sqrt{4} = 1 + 1/2 = 3/2

Sekarang masukkan nilai-nilai ini kembali ke f'(x):
f'(4) = [1 / (2\sqrt{8})] * (3/2)
f'(4) = [1 / (2 * 2\sqrt{2})] * (3/2)
f'(4) = [1 / (4\sqrt{2})] * (3/2)
f'(4) = 3 / (8\sqrt{2})

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{2}:
f'(4) = (3 * \sqrt{2}) / (8\sqrt{2} * \sqrt{2})
f'(4) = 3\sqrt{2} / (8 * 2)
f'(4) = 3\sqrt{2} / 16

Jadi, nilai f'(4) adalah 3\sqrt{2}/16.