Diketahui f(x)=ax+b cotan x, f'(pi/6)=-7, dan f'(pi/2)=3.

3

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = ax + b cotan x.
Kita perlu mencari turunan pertama dari f(x), yaitu f'(x).

d/dx (ax) = a
d/dx (b cotan x) = b * (-csc^2 x) = -b csc^2 x

Maka, f'(x) = a - b csc^2 x.

Diketahui f'(pi/6) = -7:
f'(pi/6) = a - b csc^2 (pi/6) = -7
Kita tahu bahwa sin(pi/6) = 1/2, sehingga csc(pi/6) = 1 / sin(pi/6) = 1 / (1/2) = 2.
Maka, csc^2 (pi/6) = 2^2 = 4.
Jadi, a - 4b = -7 (Persamaan 1).

Diketahui f'(pi/2) = 3:
f'(pi/2) = a - b csc^2 (pi/2) = 3
Kita tahu bahwa sin(pi/2) = 1, sehingga csc(pi/2) = 1 / sin(pi/2) = 1 / 1 = 1.
Maka, csc^2 (pi/2) = 1^2 = 1.
Jadi, a - b = 3 (Persamaan 2).

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear:
1) a - 4b = -7
2) a - b = 3

Kita bisa menyelesaikan sistem ini dengan metode eliminasi atau substitusi. Mari gunakan eliminasi dengan mengurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(a - 4b) - (a - b) = -7 - 3
a - 4b - a + b = -10
-3b = -10
b = 10/3

Sekarang substitusikan nilai b ke Persamaan 2 untuk mencari a:
a - (10/3) = 3
a = 3 + 10/3
a = 9/3 + 10/3
a = 19/3

Yang ditanyakan adalah nilai a - b:
a - b = (19/3) - (10/3) = 9/3 = 3.

Jawaban Ringkas: 3