Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 6 cm.

a. Sudut antara rusuk dan bidang sisi alas adalah arccos(√3/3). b. Sudut antara dua bidang sisi yang berdampingan adalah arccos(1/3).

Pembahasan

Untuk bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 6 cm:

**a. Sudut antara rusuk dan bidang sisi alas:**
Bidang empat beraturan adalah limas segitiga dengan semua rusuknya sama panjang. Sisi alasnya adalah segitiga sama sisi ABC, dan rusuk tegaknya adalah DA, DB, DC.

Mari kita ambil rusuk DA dan bidang alas ABC.
Proyeksi titik D pada bidang alas ABC adalah titik berat segitiga sama sisi ABC, sebut saja O.
Jadi, sudut antara rusuk DA dan bidang alas ABC adalah sudut DAO.

Dalam segitiga sama sisi ABC, tinggi dari C ke AB (misal M) adalah $6 rac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cm.
Titik O membagi garis tinggi CM dengan perbandingan 2:1, sehingga CO = $\frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm.

Dalam segitiga siku-siku DOA (siku-siku di O):
OA = CO = $2\sqrt{3}$ cm (karena O adalah titik berat pada segitiga sama sisi).
DA = 6 cm (rusuk).

Kita gunakan cosinus:
$\\cos(\\angle DAO) = \frac{OA}{DA} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Jadi, sudut antara rusuk dan bidang sisi alas adalah $\\arccos(\\frac{\sqrt{3}}{3})$.

**b. Sudut antara dua bidang sisi yang berdampingan:**
Misalkan kita ambil sudut antara bidang sisi DAB dan bidang sisi DAC.
Rusuk persekutuan kedua bidang ini adalah DA.
Kita perlu mencari garis yang tegak lurus DA pada masing-masing bidang.

Misalkan M adalah titik tengah rusuk DA. Karena D.ABC adalah bidang empat beraturan, segitiga DAB dan DAC adalah segitiga sama sisi.

Dalam segitiga sama sisi DAB, garis BM tegak lurus DA.
Dalam segitiga sama sisi DAC, garis CM tegak lurus DA.

Sudut antara bidang DAB dan DAC adalah sudut BMC.

Panjang BM = CM = tinggi segitiga sama sisi dengan rusuk 6 cm = $6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cm.

Sekarang kita tinjau segitiga BMC.
BC = 6 cm (rusuk).
BM = $3\sqrt{3}$ cm.
CM = $3\sqrt{3}$ cm.

Gunakan aturan kosinus pada segitiga BMC untuk mencari sudut BMC:
$BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \times BM \times CM \times \cos(\\angle BMC)$
$6^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \times (3\sqrt{3}) \times (3\sqrt{3}) \times \cos(\\angle BMC)$
$36 = 27 + 27 - 2 \times 27 \times \cos(\\angle BMC)$
$36 = 54 - 54 \times \cos(\\angle BMC)$
$54 \times \cos(\\angle BMC) = 54 - 36$
$54 \times \cos(\\angle BMC) = 18$
$\\cos(\\angle BMC) = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Jadi, sudut antara dua bidang sisi yang berdampingan adalah $arccos(\\frac{1}{3})$.