Diketahui f(x) = g(x).h(x). Sukubanyak g(x) dibagi oleh

Sisanya adalah -5x + 9.

Pembahasan

Diketahui:
$f(x) = g(x) \cdot h(x)$

Ketika $g(x)$ dibagi oleh $(x-3)$, sisanya adalah 2. Menurut Teorema Sisa, ini berarti $g(3) = 2$.
Ketika $g(x)$ dibagi oleh $(x-1)$, sisanya adalah 4. Ini berarti $g(1) = 4$.

Ketika $h(x)$ dibagi oleh $(x-3)$, sisanya adalah -3. Ini berarti $h(3) = -3$.
Ketika $h(x)$ dibagi oleh $(x-1)$, sisanya adalah 1. Ini berarti $h(1) = 1$.

Kita ingin mencari sisa $f(x)$ ketika dibagi oleh $(x-3)(x-1)$.
Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-3)(x-1)$ adalah $S(x) = ax + b$.

Maka, kita dapat menulis:
$f(x) = Q(x)(x-3)(x-1) + ax + b$, di mana $Q(x)$ adalah hasil bagi.

Untuk $x=3$:
$f(3) = Q(3)(3-3)(3-1) + a(3) + b$
$f(3) = Q(3)(0)(2) + 3a + b$
$f(3) = 3a + b$

Kita juga tahu bahwa $f(3) = g(3) \cdot h(3) = 2 \cdot (-3) = -6$.
Jadi, kita punya persamaan pertama:
$3a + b = -6 	(1)$

Untuk $x=1$:
$f(1) = Q(1)(1-3)(1-1) + a(1) + b$
$f(1) = Q(1)(-2)(0) + a + b$
$f(1) = a + b$

Kita juga tahu bahwa $f(1) = g(1) \cdot h(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Jadi, kita punya persamaan kedua:
$a + b = 4 	(2)$

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear dengan dua variabel $a$ dan $b$:
1) $3a + b = -6$
2) $a + b = 4$

Untuk mencari nilai $a$ dan $b$, kita bisa mengurangi persamaan (2) dari persamaan (1):
$(3a + b) - (a + b) = -6 - 4$
$3a + b - a - b = -10$
$2a = -10$
$a = -5$

Substitusikan nilai $a = -5$ ke dalam persamaan (2):
$(-5) + b = 4$
$b = 4 + 5$
$b = 9$

Jadi, sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-3)(x-1)$ adalah $S(x) = ax + b = -5x + 9$.