Diketahui f(x)=sin ^(2) x+2 cos ^(2) x+3 sin ^(2) x+4 cos

0

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = sin^2(x) + 2cos^2(x) + 3sin^2(x) + 4cos^2(x) + ... + 2021sin^2(x) + 2022cos^2(x).

Kita dapat mengelompokkan suku-suku sin^2(x) dan cos^2(x):

f(x) = (sin^2(x) + 3sin^2(x) + 5sin^2(x) + ... + 2021sin^2(x)) + (2cos^2(x) + 4cos^2(x) + 6cos^2(x) + ... + 2022cos^2(x))

Perhatikan bahwa koefisien dari sin^2(x) adalah barisan aritmetika ganjil: 1, 3, 5, ..., 2021.
Perhatikan bahwa koefisien dari cos^2(x) adalah barisan aritmetika genap: 2, 4, 6, ..., 2022.

Kita bisa menyederhanakan f(x) menggunakan identitas sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

f(x) = sin^2(x) + 2cos^2(x) + 3sin^2(x) + 4cos^2(x) + ... + 2021sin^2(x) + 2022cos^2(x)

f(x) = (sin^2(x) + cos^2(x)) + (sin^2(x) + cos^2(x)) + ...

Mari kita lihat pola pengelompokan:
Setiap pasangan (n sin^2(x) + (n+1) cos^2(x)) tidak menghasilkan penyederhanaan langsung dengan identitas.

Namun, kita bisa menyederhanakan f(x) sebagai berikut:

f(x) = (1+3+5+...+2021)sin^2(x) + (2+4+6+...+2022)cos^2(x)

Jumlah barisan aritmetika ganjil: 1, 3, ..., 2021.
Suku pertama (a) = 1
Beda (d) = 2
Suku terakhir (Un) = 2021
Un = a + (n-1)d
2021 = 1 + (n-1)2
2020 = (n-1)2
1010 = n-1
n = 1011
Jumlah (Sn) = n/2 * (a + Un) = 1011/2 * (1 + 2021) = 1011/2 * 2022 = 1011 * 1011 = 1011^2

Jumlah barisan aritmetika genap: 2, 4, ..., 2022.
Suku pertama (a) = 2
Beda (d) = 2
Suku terakhir (Un) = 2022
Un = a + (n-1)d
2022 = 2 + (n-1)2
2020 = (n-1)2
1010 = n-1
n = 1011
Jumlah (Sn) = n/2 * (a + Un) = 1011/2 * (2 + 2022) = 1011/2 * 2024 = 1011 * 1012

Jadi, f(x) = 1011^2 sin^2(x) + (1011 * 1012) cos^2(x)

f(x) = 1011^2 sin^2(x) + 1023132 cos^2(x)

Sekarang kita perlu mencari f'(pi).
Turunan dari f(x) adalah f'(x).

f'(x) = d/dx [1011^2 sin^2(x) + 1023132 cos^2(x)]

Menggunakan aturan rantai:
d/dx (sin^2(x)) = 2sin(x)cos(x)
d/dx (cos^2(x)) = 2cos(x)(-sin(x)) = -2sin(x)cos(x)

f'(x) = 1011^2 * (2sin(x)cos(x)) + 1023132 * (-2sin(x)cos(x))

f'(x) = (2 * 1011^2)sin(x)cos(x) - (2 * 1023132)sin(x)cos(x)

f'(x) = (2 * 1011^2 - 2 * 1023132)sin(x)cos(x)

f'(x) = (2044242 - 2046264)sin(x)cos(x)

f'(x) = -2022 sin(x)cos(x)

Sekarang substitusikan x = pi:

f'(pi) = -2022 sin(pi)cos(pi)

Kita tahu bahwa sin(pi) = 0 dan cos(pi) = -1.

f'(pi) = -2022 * (0) * (-1)

f'(pi) = 0

Jawaban Ringkas: 0