Diketahui f(x)=x^1/2(x+1/x)(x-1/x) . Tunjukkan

Proses penurunan dari f(x) yang diberikan tidak menghasilkan f'(x) yang diminta. Dengan asumsi bentuk f(x) yang benar adalah $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$, maka $f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Pembahasan

Diberikan fungsi $f(x) = x^{1/2}(x + 1/x)(x - 1/x)$. Kita perlu menunjukkan bahwa turunan pertamanya, $f'(x)$, adalah $5x^{4} + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Langkah 1: Sederhanakan bentuk fungsi $f(x)$.
Perhatikan bahwa $(x + 1/x)(x - 1/x)$ adalah bentuk selisih kuadrat, yaitu $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Dalam hal ini, $a = x$ dan $b = 1/x$. Maka,
$(x + 1/x)(x - 1/x) = x^2 - (1/x)^2 = x^2 - 1/x^2 = x^2 - x^{-2}$.

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam $f(x)$:
$f(x) = x^{1/2} (x^2 - x^{-2})$

Distribusikan $x^{1/2}$ ke dalam kurung:
$f(x) = x^{1/2} * x^2 - x^{1/2} * x^{-2}$

Untuk perkalian bilangan berpangkat dengan basis yang sama, jumlahkan pangkatnya: $a^m * a^n = a^{m+n}$.
$f(x) = x^{(1/2 + 2)} - x^{(1/2 - 2)}$
$f(x) = x^{(1/2 + 4/2)} - x^{(1/2 - 4/2)}$
$f(x) = x^{5/2} - x^{-3/2}$

Langkah 2: Cari turunan pertama dari $f(x)$ menggunakan aturan pangkat $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{5/2}) - \frac{d}{dx}(x^{-3/2})$

Terapkan aturan pangkat:
Untuk suku pertama, $n = 5/2$: $\frac{5}{2}x^{(5/2 - 1)} = \frac{5}{2}x^{(5/2 - 2/2)} = \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Untuk suku kedua, $n = -3/2$: $-\frac{3}{2}x^{(-3/2 - 1)} = -\frac{3}{2}x^{(-3/2 - 2/2)} = -\frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Jadi, $f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} - (-\frac{3}{2}x^{-5/2})$
$f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$

Mari kita periksa kembali soal yang diberikan: $f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Hasil turunan yang saya dapatkan adalah $f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$. Ini berbeda dengan yang diminta dalam soal.

Mari kita periksa kembali penyederhanaan $f(x)$:
$f(x) = x^{1/2}(x + 1/x)(x - 1/x)$
$f(x) = x^{1/2}(x^2 - 1/x^2)$
$f(x) = x^{1/2}x^2 - x^{1/2}x^{-2}$
$f(x) = x^{5/2} - x^{-3/2}$

Turunannya adalah $f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Ada kemungkinan kesalahan ketik dalam soal yang diminta untuk ditunjukkan. Misalkan bentuk $f(x)$ yang benar adalah $f(x) = x^3(x + 1/x)(x - 1/x)$ atau ada kesalahan dalam hasil turunan yang diminta.

Mari kita coba jika $f(x) = x^{1/2} * (x^2 + x^{-2})$.
$f(x) = x^{5/2} + x^{-3/2}$. Turunannya adalah $\frac{5}{2}x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Jika $f(x) = x^3 (x^2 - x^{-2}) = x^5 - x^1$. Turunannya $5x^4 - 1$.

Jika $f(x) = x^3 (x^2 - x^{-2})$ maka $f(x) = x^5 - x$. Turunannya $f'(x) = 5x^4 - 1$.

Jika soalnya adalah $f(x) = x^3 (x + 1/x^2)$ maka $f(x) = x^4 + x$. $f'(x) = 4x^3 + 1$.

Mari kita coba bekerja mundur dari hasil turunan yang diminta: $f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.
Untuk mendapatkan $5x^4$, maka suku asalnya adalah $x^5$ (karena turunan $x^5$ adalah $5x^4$).
Untuk mendapatkan $\frac{3}{2}x^{5/2}$, maka suku asalnya adalah $\frac{3}{2} * \frac{2}{5}x^{(5/2 + 1)} = \frac{3}{5}x^{7/2}$ (karena turunan $\frac{3}{5}x^{7/2}$ adalah $\frac{3}{5} * \frac{7}{2}x^{5/2} = \frac{21}{10}x^{5/2}$, ini tidak cocok).

Jika suku asalnya adalah $\frac{3}{2} * \frac{1}{7/2}x^{7/2} = \frac{3}{7}x^{7/2}$. Turunannya $\frac{3}{7} * \frac{7}{2}x^{5/2} = \frac{3}{2}x^{5/2}$.
Jadi, jika $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$, maka $f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Sekarang mari kita lihat apakah $x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$ bisa berasal dari bentuk awal soal.
Bentuk awal soal: $f(x)=x^1/2(x+1/x)(x-1/x) = x^{5/2} - x^{-3/2}$.
Ini jelas berbeda.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal yang diberikan. Namun, saya akan menyajikan proses penurunan dari bentuk yang diberikan, meskipun hasilnya tidak sesuai dengan yang diminta untuk ditunjukkan.

Proses penurunan dari $f(x) = x^{5/2} - x^{-3/2}$ adalah:
$f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Jika saya harus 'menunjukkan' hasil yang diminta, maka saya harus berasumsi bahwa bentuk $f(x)$ yang diberikan adalah salah, dan bentuk yang benar adalah $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$.

Mari kita coba jika $f(x) = x^3(x^2+1/x^2)$:
$f(x) = x^5 + x$. Turunannya $5x^4+1$.

Mari kita coba jika $f(x) = x^3(x+1/x)^2$:
$f(x) = x^3(x^2 + 2 + 1/x^2) = x^5 + 2x^3 + x^{-1}$. Turunannya $5x^4 + 6x^2 - x^{-2}$.

Karena saya diminta untuk "Tunjukkan $f'(x)=5x^4+3/2x^5/2$", saya akan mengasumsikan bahwa ada kesalahan dalam penulisan $f(x)$.

Jika $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$, maka:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(\frac{3}{7}x^{7/2})$
$f'(x) = 5x^{5-1} + \frac{3}{7} * \frac{7}{2}x^{7/2 - 1}$
$f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Ini sesuai dengan yang diminta.

Jadi, untuk menunjukkan hasil tersebut, kita harus berasumsi bahwa bentuk fungsi $f(x)$ yang diberikan dalam soal memiliki kesalahan penulisan, dan bentuk yang benar adalah $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$.

Namun, jika soal harus dikerjakan persis seperti yang tertulis, maka hasil turunannya adalah $\frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Karena instruksi adalah "Tunjukkan $f'(x)=5x^4+3/2x^5/2$", saya akan menyajikan bagaimana cara mendapatkannya, dengan asumsi ada kesalahan pada $f(x)$ awal.

Jawaban:
Untuk menunjukkan bahwa $f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$ dari $f(x) = x^{1/2}(x+1/x)(x-1/x)$, kita perlu menyederhanakan $f(x)$ terlebih dahulu. 
$f(x) = x^{1/2}(x^2 - x^{-2}) = x^{5/2} - x^{-3/2}$.
Menurunkan $f(x)$ ini memberikan $f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$. Hasil ini tidak sesuai dengan yang diminta untuk ditunjukkan.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa bentuk fungsi awal yang dimaksud adalah $f(x) = x^5 + \frac{3}{7}x^{7/2}$, maka turunannya adalah:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(\frac{3}{7}x^{7/2})$
$f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2}x^{7/2 - 1}$
$f'(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^{5/2}$.

Hasil ini sesuai dengan yang diminta untuk ditunjukkan. Oleh karena itu, ada kemungkinan kesalahan penulisan pada bentuk $f(x)$ dalam soal asli.