Kubua ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada

(3a√2)/4 cm

Pembahasan

Untuk menghitung jarak titik K ke bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm, di mana K pada perpanjangan DA sehingga KA = 1/3 KD, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang.

Misalkan kita letakkan kubus dalam sistem koordinat.
Misalkan A = (0, 0, 0).
Maka B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0), C = (a, a, 0).
E = (0, 0, a), F = (a, 0, a), H = (0, a, a), G = (a, a, a).

Titik K berada pada perpanjangan DA. Vektor DA = A - D = (0, 0, 0) - (0, a, 0) = (0, -a, 0).
Perpanjangan DA berarti K terletak pada garis yang sama dengan DA tetapi di luar segmen DA.
Jika K pada perpanjangan DA sehingga KA = 1/3 KD, ini berarti K terletak pada garis DA. Titik D adalah (0, a, 0) dan A adalah (0, 0, 0).

Jika K pada perpanjangan DA, maka K = D + t * (A - D) untuk t > 1 atau K = A + t * (D - A) untuk t < 0.
KA = 1/3 KD
|K - A| = 1/3 |K - D|
Karena K pada perpanjangan DA, K dapat ditulis sebagai K = A + 
u (D - A) untuk 
u < 0.
K = (0, 0, 0) + 
u (0, a, 0) = (0, 
u a, 0).

KA = |K - A| = |(0, 
u a, 0) - (0, 0, 0)| = |(0, 
u a, 0)| = |
u a|.
Karena 
u < 0, maka KA = -
u a.
KD = |K - D| = |(0, 
u a, 0) - (0, a, 0)| = |(0, (
u-1)a, 0)| = |(
u-1)a|.
Karena 
u < 0, maka 
u-1 < -1, jadi |(
u-1)a| = -(
u-1)a = (1-
u)a.

KA = 1/3 KD
-
u a = 1/3 (1-
u)a
-
u = 1/3 (1-
u)
-3
u = 1 - 
u
-2
u = 1

u = -1/2.

Jadi, K = (0, -1/2 a, 0).

Sekarang kita perlu mencari jarak titik K ke bidang BDHF.
Titik B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0), H = (0, a, a), F = (a, 0, a).
Bidang BDHF dapat direpresentasikan oleh persamaan. Vektor normal bidang ini tegak lurus terhadap vektor BD dan BH (atau DF dan DH).

BD = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0).
DH = H - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a).

Vektor normal n = BD x DH = 
| i   j   k  |
|-a  a   0  |
| 0  0   a  |
= i(a*a - 0*0) - j(-a*a - 0*0) + k(-a*0 - a*0)
= a^2 i + a^2 j + 0 k = (a^2, a^2, 0).
Kita bisa gunakan vektor normal (1, 1, 0) sebagai penyederhanaan.

Persamaan bidang BDHF: 1(x - x_B) + 1(y - y_B) + 0(z - z_B) = 0
(x - a) + (y - 0) = 0
x + y - a = 0.

Sekarang kita hitung jarak titik K(0, -1/2 a, 0) ke bidang x + y - a = 0.
Jarak = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Di sini, A=1, B=1, C=0, D=-a. Titik K (x_0, y_0, z_0) = (0, -1/2 a, 0).

Jarak = |1*(0) + 1*(-1/2 a) + 0*(0) - a| / sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2)
Jarak = |0 - 1/2 a + 0 - a| / sqrt(1 + 1)
Jarak = |-3/2 a| / sqrt(2)
Karena a > 0, maka |-3/2 a| = 3/2 a.
Jarak = (3/2 a) / sqrt(2)
Jarak = (3a) / (2 * sqrt(2))
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan sqrt(2)/sqrt(2):
Jarak = (3a * sqrt(2)) / (2 * sqrt(2) * sqrt(2))
Jarak = (3a * sqrt(2)) / (2 * 2)
Jarak = (3a * sqrt(2)) / 4

Jadi, jarak titik K ke bidang BDHF adalah (3a * sqrt(2)) / 4 cm.