Diketahui f(x)=(x^2-1)/(x+1). Jika f^(-1) (x) adalah invers

$f^{-1}(x) = x + 1$, dengan domain $x \neq -2$.

Pembahasan

Diberikan fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$.

Pertama, kita bisa menyederhanakan fungsi $f(x)$ jika $x \neq -1$.
$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
Jika $x \neq -1$, maka $f(x) = x - 1$.

Sekarang kita cari invers dari fungsi yang disederhanakan, yaitu $f(x) = x - 1$ (dengan domain $x \neq -1$).
Misalkan $y = f(x) = x - 1$.
Untuk mencari inversnya, kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:
$x = y - 1$
$y = x + 1$

Jadi, $f^{-1}(x) = x + 1$.

Namun, kita perlu memperhatikan domain dan range dari fungsi asli dan inversnya.
Fungsi asli $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ terdefinisi untuk semua $x \neq -1$. Ketika $x = -1$, nilai $f(x)$ tidak terdefinisi.
Jika kita substitusi $x = -1$ ke dalam bentuk sederhana $x-1$, kita mendapatkan $-1 - 1 = -2$. Jadi, nilai $f(x) = -2$ tidak pernah tercapai oleh fungsi $f(x)$ karena $x = -1$ tidak termasuk dalam domainnya.

Oleh karena itu, range dari $f(x)$ adalah semua bilangan real kecuali -2, yaitu $y \neq -2$.

Untuk fungsi invers $f^{-1}(x) = x + 1$, domainnya harus sama dengan range dari $f(x)$. Jadi, domain dari $f^{-1}(x)$ adalah $x \neq -2$.

Jadi, invers dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ adalah $f^{-1}(x) = x + 1$, dengan domain $x \neq -2$.