Diketahui f(x)=x^2-2x+2 dan g(x)=x+1 a. Apakah fog dan gof

a. Ya, keduanya terdefinisi. b. (fog)(x) = x^2 + 1. c. a = 1.

Pembahasan

Diketahui $$f(x) = x^2 - 2x + 2$$ dan $$g(x) = x + 1$$. 
a. Agar fog dan gof terdefinisi, domain dari fungsi luar harus mencakup rentang dari fungsi dalam. 
   - Untuk fog: Domain f adalah semua bilangan real, dan rentang f adalah $$[1, 	ext{inf})$$. Domain g adalah semua bilangan real. Karena rentang f tidak sepenuhnya termasuk dalam domain g, fog terdefinisi. 
   - Untuk gof: Domain g adalah semua bilangan real, dan rentang g adalah semua bilangan real. Domain f adalah semua bilangan real. Karena rentang g mencakup domain f, gof terdefinisi. 

b. Rumus fungsi (fog)(x) dihitung dengan mensubstitusikan g(x) ke dalam f(x): 
   $$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 - 2(x+1) + 2 = (x^2 + 2x + 1) - (2x + 2) + 2 = x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 2 = x^2 + 1$$. 

c. Untuk mencari nilai a agar (gof)(a) = 2, pertama kita cari rumus (gof)(x): 
   $$(gof)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 2x + 2) = (x^2 - 2x + 2) + 1 = x^2 - 2x + 3$$. 
   Sekarang, kita atur (gof)(a) = 2: 
   $$a^2 - 2a + 3 = 2$$ 
   $$a^2 - 2a + 1 = 0$$ 
   $$(a - 1)^2 = 0$$ 
   $$a = 1$$.