Diketahui f(x)=x^2+4x-2 dan fog(x)=x^2-8x+10 Jika h(x)=2-x

h(g(x)) = x

Pembahasan

Untuk mencari nilai h(g(x)), kita perlu mengetahui fungsi g(x) terlebih dahulu. Diketahui f(x) = x^2 + 4x - 2 dan f(g(x)) = x^2 - 8x + 10. Kita substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = (g(x))^2 + 4(g(x)) - 2
Kita samakan dengan f(g(x)) yang diketahui:
(g(x))^2 + 4(g(x)) - 2 = x^2 - 8x + 10
(g(x))^2 + 4(g(x)) - (x^2 - 8x + 12) = 0
Untuk mencari g(x), kita bisa mencoba menganggap g(x) adalah fungsi linier, misalnya g(x) = ax + b. Namun, informasi g(2) = 0 akan lebih membantu jika kita menemukan bentuk eksplisit g(x) terlebih dahulu.

Mari kita coba pecah f(g(x)):
f(g(x)) = x^2 - 8x + 10
Perhatikan bahwa f(x) = x^2 + 4x - 2. Jika kita ingin mendapatkan x^2 - 8x + 10 dari f(g(x)), maka g(x) haruslah suatu fungsi yang jika dikuadratkan dan ditambah 4 kali dirinya sendiri akan menghasilkan bentuk seperti itu.

Cara lain adalah dengan melengkapkan kuadrat pada f(g(x)):
f(g(x)) = (x - 4)^2 - 16 + 10
f(g(x)) = (x - 4)^2 - 6
Karena f(y) = y^2 + 4y - 2, dan kita punya f(g(x)) = (g(x))^2 + 4(g(x)) - 2, maka kita bisa menyamakan:
(g(x))^2 + 4(g(x)) - 2 = (x - 4)^2 - 6
Tambahkan 6 ke kedua sisi:
(g(x))^2 + 4(g(x)) + 4 = (x - 4)^2
(g(x) + 2)^2 = (x - 4)^2
Maka, g(x) + 2 = x - 4 atau g(x) + 2 = -(x - 4).
Kasus 1: g(x) + 2 = x - 4  => g(x) = x - 6.
Mari kita cek apakah g(2) = 0: g(2) = 2 - 6 = -4. Ini tidak sesuai.
Kasus 2: g(x) + 2 = -(x - 4) => g(x) + 2 = -x + 4 => g(x) = -x + 2.
Mari kita cek apakah g(2) = 0: g(2) = -2 + 2 = 0. Ini sesuai.
Jadi, g(x) = -x + 2.

Sekarang kita perlu mencari h(g(x)). Diketahui h(x) = 2 - x.
Maka, h(g(x)) = h(-x + 2).
Substitusikan g(x) ke dalam h(x):
h(g(x)) = 2 - (-x + 2)
h(g(x)) = 2 + x - 2
h(g(x)) = x