Diketahui f(x)=x^2+a x+b . Jika lim x ->-2 (x+2)/f(x)=-1/5

Nilai a + b adalah -7.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan limit fungsi aljabar.

Kita diberikan f(x) = x^2 + ax + b dan lim x->-2 (x+2)/f(x) = -1/5.
Karena limitnya ada dan penyebutnya menuju nol ketika x mendekati -2 (karena pembilangnya, x+2, menuju nol), maka f(-2) haruslah nol agar tidak terjadi bentuk tak tentu 0/0.

Substitusikan x = -2 ke dalam f(x):
f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + b = 0
4 - 2a + b = 0
b = 2a - 4  (Persamaan 1)

Karena f(-2) = 0, maka (x+2) adalah salah satu faktor dari f(x). Kita bisa memfaktorkan f(x) atau menggunakan aturan L'Hopital.

Menggunakan L'Hopital:
Karena lim x->-2 (x+2)/f(x) = -1/5, dan kita memiliki bentuk 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebutnya:
lim x->-2 (turunan dari (x+2)) / (turunan dari f(x)) = -1/5
lim x->-2 (1) / (2x + a) = -1/5

Substitusikan x = -2 ke dalam persamaan limit yang baru:
1 / (2(-2) + a) = -1/5
1 / (-4 + a) = -1/5

Kalikan silang:
5 = -1(-4 + a)
5 = 4 - a
a = 4 - 5
a = -1

Sekarang, substitusikan nilai a = -1 ke dalam Persamaan 1 untuk mencari b:
b = 2a - 4
b = 2(-1) - 4
b = -2 - 4
b = -6

Yang ditanyakan adalah a + b:
a + b = -1 + (-6) = -7.

Menggunakan faktorisasi (alternatif):
Karena f(-2) = 0, maka (x+2) adalah faktor. Kita bisa tulis f(x) = (x+2)(x+k) untuk suatu k.
f(x) = x^2 + (2+k)x + 2k
Membandingkan dengan f(x) = x^2 + ax + b, kita dapatkan:
a = 2+k
b = 2k

Dari limit: lim x->-2 (x+2)/((x+2)(x+k)) = -1/5
lim x->-2 1/(x+k) = -1/5
1/(-2+k) = -1/5
-2+k = -5
k = -3

Maka, a = 2 + (-3) = -1
b = 2(-3) = -6
a + b = -1 + (-6) = -7.