Diketahui f'(x)=x^3(x-a)^2(x-b) dengan 0<a<b . Fungsi f

Pernyataan (ii) dan (iv) benar.

Pembahasan

Diketahui f'(x) = x³(x-a)²(x-b) dengan 0 < a < b.
Kita perlu menganalisis sifat fungsi f berdasarkan turunan pertamanya, f'(x).

(i) Jika x < b:
   - Jika x < 0, maka x³ < 0.
   - (x-a)² selalu positif (kecuali jika x=a).
   - Jika x < a, maka (x-b) < 0.
   - Jika a < x < b, maka (x-b) < 0.
   Jadi, jika x < b (dan x ≠ a), f'(x) akan selalu negatif karena hasil perkalian antara bilangan negatif (x³) dan bilangan negatif ((x-b)) dengan bilangan positif ((x-a)²).
   Ketika f'(x) < 0, fungsi f adalah fungsi turun.
   Ini berarti untuk x < a, f(x) turun. Untuk a < x < b, f(x) juga turun.
   Pada titik x = a, f'(a) = 0. Karena fungsi turun sebelum dan sesudah a, maka f(a) bukan nilai maksimum lokal, melainkan titik belok.
   Oleh karena itu, pernyataan (i) salah.

(ii) Jika x > 0, f(b) adalah nilai minimum f:
   - Jika x > b, maka x³ > 0.
   - (x-a)² selalu positif.
   - (x-b) > 0.
   Jadi, jika x > b, f'(x) = (positif) * (positif) * (positif) = positif.
   Ketika f'(x) > 0, fungsi f adalah fungsi naik.
   Pada titik x = b, f'(b) = 0. Karena fungsi turun sebelum b (untuk 0 < x < b) dan naik setelah b (untuk x > b), maka f(b) adalah nilai minimum lokal.
   Oleh karena itu, pernyataan (ii) benar.

(iii) Jika x < 0, f merupakan fungsi turun:
   - Jika x < 0, maka x³ < 0.
   - (x-a)² selalu positif.
   - Jika x < 0, maka x juga < b (karena a dan b positif), sehingga (x-b) < 0.
   Jadi, jika x < 0, f'(x) = (negatif) * (positif) * (negatif) = positif.
   Ketika f'(x) > 0, fungsi f adalah fungsi naik.
   Oleh karena itu, pernyataan (iii) salah.

(iv) Jika x > b, f merupakan fungsi naik:
   - Jika x > b, maka x³ > 0.
   - (x-a)² selalu positif.
   - Jika x > b, maka (x-b) > 0.
   Jadi, jika x > b, f'(x) = (positif) * (positif) * (positif) = positif.
   Ketika f'(x) > 0, fungsi f adalah fungsi naik.
   Oleh karena itu, pernyataan (iv) benar.

Pernyataan yang benar adalah (ii) dan (iv).