Jika f(x)=1/3x^3-2x^2+3x dengan -1 <= x <= 2 mempunyai

-8/81

Pembahasan

Pertama, kita perlu mencari turunan pertama dari f(x), yaitu f'(x).
f(x) = 1/3x^3 - 2x^2 + 3x
f'(x) = d/dx (1/3x^3 - 2x^2 + 3x)
f'(x) = x^2 - 4x + 3
Selanjutnya, kita perlu mencari nilai maksimum dari f(x) pada interval [-1, 2]. Untuk melakukan ini, kita cari titik kritis dengan mengatur f'(x) = 0.
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
Titik kritisnya adalah x = 1 dan x = 3. Namun, x = 3 berada di luar interval [-1, 2], jadi kita hanya mempertimbangkan x = 1.
Sekarang, kita evaluasi f(x) pada titik kritis (x=1) dan titik ujung interval (x=-1 dan x=2):
f(-1) = 1/3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1) = -1/3 - 2 - 3 = -5 - 1/3 = -16/3
f(1) = 1/3(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) = 1/3 - 2 + 3 = 1 + 1/3 = 4/3
f(2) = 1/3(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2) = 1/3(8) - 2(4) + 6 = 8/3 - 8 + 6 = 8/3 - 2 = 2/3
Nilai maksimum f(x) pada interval [-1, 2] adalah 4/3, yang terjadi di x = 1. Jadi, a = 1 dan b = 4/3.
Sekarang kita hitung integral a b f'(x) dx:
Integral dari 1 sampai 4/3 dari (x^2 - 4x + 3) dx
= [1/3x^3 - 2x^2 + 3x] dari 1 sampai 4/3
= (1/3(4/3)^3 - 2(4/3)^2 + 3(4/3)) - (1/3(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1))
= (1/3(64/27) - 2(16/9) + 4) - (1/3 - 2 + 3)
= (64/81 - 32/9 + 4) - (1/3 + 1)
= (64/81 - 288/81 + 324/81) - (4/3)
= (100/81) - (108/81)
= -8/81

Namun, ada interpretasi lain dari soal ini. Jika (a, b) adalah koordinat titik maksimum, maka a = 1 dan b = f(1) = 4/3. Maka integral yang diminta adalah integral dari a ke b dari f'(x) dx.
Integral a b f'(x) dx = f(b) - f(a)
Di sini, a = 1 dan b = 4/3.
Jadi, kita perlu menghitung f(4/3) - f(1).
f(4/3) = 1/3(4/3)^3 - 2(4/3)^2 + 3(4/3) = 1/3(64/27) - 2(16/9) + 4 = 64/81 - 32/9 + 4 = 64/81 - 288/81 + 324/81 = 100/81
f(1) = 4/3 = 108/81
f(4/3) - f(1) = 100/81 - 108/81 = -8/81.

Jika yang dimaksud adalah nilai integral dari a hingga b dari f'(x) dx, di mana a adalah nilai x di mana maksimum terjadi dan b adalah nilai maksimum itu sendiri, maka a = 1 dan b = 4/3. Maka integralnya adalah f(b) - f(a) = f(4/3) - f(1) = -8/81.

Jika yang dimaksud adalah nilai integral dari a hingga b dari f'(x) dx, di mana (a,b) adalah koordinat titik maksimum, maka a=1 dan b=4/3. Perhitungan integral dari a sampai b dari f'(x) dx adalah:
Integral[1, 4/3] (x^2 - 4x + 3) dx = [x^3/3 - 2x^2 + 3x]_1^(4/3)
= ( (4/3)^3/3 - 2(4/3)^2 + 3(4/3) ) - ( (1)^3/3 - 2(1)^2 + 3(1) )
= ( 64/81 - 32/9 + 4 ) - ( 1/3 - 2 + 3 )
= ( 64/81 - 288/81 + 324/81 ) - ( 1/3 + 1 )
= ( 100/81 ) - ( 4/3 )
= 100/81 - 108/81
= -8/81