Diketahui fungsi biaya marginal (MC) suatu perusahaan

Integralkan MC untuk mendapatkan TC = 4Q^4 + 4Q^3 - 4Q^2 + K. Gunakan kondisi TC(5) = 500 untuk menemukan K = -2400. Maka, TC = 4Q^4 + 4Q^3 - 4Q^2 - 2400.

Pembahasan

Untuk menentukan fungsi biaya total (TC) dari fungsi biaya marginal (MC), kita perlu mengintegralkan fungsi MC terhadap kuantitas (Q).

Diketahui fungsi biaya marginal: $MC = 16Q^3 + 12Q^2 - 8Q$

Fungsi biaya total (TC) adalah integral dari MC:
$TC = \int MC \, dQ$
$TC = \int (16Q^3 + 12Q^2 - 8Q) \, dQ$

Melakukan integrasi:
$TC = \frac{16Q^{3+1}}{3+1} + \frac{12Q^{2+1}}{2+1} - \frac{8Q^{1+1}}{1+1} + K$
$TC = \frac{16Q^4}{4} + \frac{12Q^3}{3} - \frac{8Q^2}{2} + K$
$TC = 4Q^4 + 4Q^3 - 4Q^2 + K$

Di mana K adalah konstanta integrasi, yang mewakili biaya tetap.

Untuk menemukan nilai K, kita gunakan informasi bahwa pada $Q=5$ unit, $TC=500$ (dalam puluhan ribu rupiah).
Substitusikan nilai Q=5 dan TC=500 ke dalam persamaan TC:
$500 = 4(5)^4 + 4(5)^3 - 4(5)^2 + K$
$500 = 4(625) + 4(125) - 4(25) + K$
$500 = 2500 + 500 - 100 + K$
$500 = 2900 + K$
$K = 500 - 2900$
$K = -2400$

Jadi, fungsi biaya totalnya adalah:
$TC = 4Q^4 + 4Q^3 - 4Q^2 - 2400$

Namun, perlu diperhatikan bahwa nilai K yang negatif (-2400) dalam konteks biaya tetap biasanya tidak masuk akal secara ekonomi (biaya tetap seharusnya positif atau nol). Ada kemungkinan ada kesalahan dalam data soal (nilai TC atau Q) atau dalam interpretasi unit (puluhan ribu rupiah). Jika kita mengabaikan kemungkinan adanya biaya tetap negatif dan mengasumsikan konstanta integrasi adalah biaya tetap positif, maka ada inkonsistensi dalam data. 

Jika kita mengikuti perhitungan matematis saja, maka jawabannya adalah $TC = 4Q^4 + 4Q^3 - 4Q^2 - 2400$. Jika diasumsikan soal meminta nilai konstanta yang membuat persamaan terpenuhi, maka konstanta tersebut adalah -2400.