Diketahui fungsi f dan g dinyatakan oleh f(x)=9 x^2-5x+3

Nilai limitnya adalah -2/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari $\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}$ ketika $x$ mendekati tak hingga, dengan $f(x) = 9x^2 - 5x + 3$ dan $g(x) = 9x^2 - x + 1$, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Limit yang dicari adalah $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 5x + 3} - \sqrt{9x^2 - x + 1})$.

Karena ini adalah bentuk tak tentu $\infty - \infty$, kita gunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan (konjugat):

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{9x^2 - 5x + 3} - \sqrt{9x^2 - x + 1} \right) \times \frac{\sqrt{9x^2 - 5x + 3} + \sqrt{9x^2 - x + 1}}{\sqrt{9x^2 - 5x + 3} + \sqrt{9x^2 - x + 1}}$

Ini sama dengan:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(9x^2 - 5x + 3) - (9x^2 - x + 1)}{\sqrt{9x^2 - 5x + 3} + \sqrt{9x^2 - x + 1}}$

Sederhanakan pembilangnya:
$(9x^2 - 5x + 3) - (9x^2 - x + 1) = 9x^2 - 5x + 3 - 9x^2 + x - 1 = -4x + 2$

Jadi, limitnya menjadi:

$\lim_{x \to \infty} \frac{-4x + 2}{\sqrt{9x^2 - 5x + 3} + \sqrt{9x^2 - x + 1}}$

Untuk menyelesaikan limit ketika $x \to \infty$, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$ di penyebut, yaitu $x$ (karena $\sqrt{x^2} = x$ untuk $x > 0$).

Bagi pembilang dengan $x$: $\frac{-4x + 2}{x} = -4 + \frac{2}{x}$

Bagi penyebut dengan $x$: $\frac{\sqrt{9x^2 - 5x + 3} + \sqrt{9x^2 - x + 1}}{x} = \sqrt{\frac{9x^2 - 5x + 3}{x^2}} + \sqrt{\frac{9x^2 - x + 1}{x^2}}$

$= \sqrt{9 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:

$\lim_{x \to \infty} \frac{-4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{9 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

Ketika $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki $x$ di penyebut akan mendekati 0:
$\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$.

Jadi, limitnya menjadi:

$\frac{-4 + 0}{\sqrt{9 - 0 + 0} + \sqrt{9 - 0 + 0}} = \frac{-4}{\sqrt{9} + \sqrt{9}} = \frac{-4}{3 + 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$