Jika (x-a)^2 merupakan faktor dari suku banyak

1

Pembahasan

Jika (x-a)^2 merupakan faktor dari suku banyak P(x) = x^4 - 6ax^3 + 8a^2 x^2 - ma^3 x + na^4, maka x = a adalah akar ganda dari suku banyak tersebut. Ini berarti P(a) = 0 dan P'(a) = 0, di mana P'(x) adalah turunan pertama dari P(x).

Langkah 1: Hitung P(a)
P(a) = a^4 - 6a(a^3) + 8a^2(a^2) - ma^3(a) + na^4
P(a) = a^4 - 6a^4 + 8a^4 - ma^4 + na^4
P(a) = (1 - 6 + 8 - m + n)a^4
P(a) = (3 - m + n)a^4

Karena P(a) = 0, maka (3 - m + n)a^4 = 0. Karena a tidak nol (jika a=0, maka (x)^2 adalah faktor dari x^4 yang tidak memberikan informasi spesifik tentang m dan n), kita dapatkan:
3 - m + n = 0  ... (Persamaan 1)

Langkah 2: Hitung turunan pertama P'(x)
P'(x) = d/dx (x^4 - 6ax^3 + 8a^2 x^2 - ma^3 x + na^4)
P'(x) = 4x^3 - 18ax^2 + 16a^2 x - ma^3

Langkah 3: Hitung P'(a)
P'(a) = 4a^3 - 18a(a^2) + 16a^2(a) - ma^3
P'(a) = 4a^3 - 18a^3 + 16a^3 - ma^3
P'(a) = (4 - 18 + 16 - m)a^3
P'(a) = (2 - m)a^3

Karena P'(a) = 0, maka (2 - m)a^3 = 0. Karena a tidak nol, kita dapatkan:
2 - m = 0
m = 2

Langkah 4: Substitusikan nilai m ke Persamaan 1
3 - m + n = 0
3 - 2 + n = 0
1 + n = 0
n = -1

Langkah 5: Hitung m + n
m + n = 2 + (-1) = 1