Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut: a.

Penyelesaian untuk a adalah x = -1/2 dan x = 2. Tidak ada solusi untuk b.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma:
a. \(^{3}\log (2x^{2}-3x) = ^{3}\log 2\)
Karena basis logaritma sama, maka argumennya dapat disamakan:
\(2x^{2}-3x = 2\)
\(2x^{2}-3x-2 = 0\)
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
\((2x+1)(x-2) = 0\)
Maka solusi untuk x adalah \(x = -1/2\) atau \(x = 2\).
Kita perlu memeriksa apakah argumen logaritma positif untuk kedua solusi tersebut:
Untuk \(x = -1/2\): \(2(-1/2)^2 - 3(-1/2) = 2(1/4) + 3/2 = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2 > 0\). Jadi, \(x = -1/2\) adalah solusi yang valid.
Untuk \(x = 2\): \(2(2)^2 - 3(2) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2 > 0\). Jadi, \(x = 2\) adalah solusi yang valid.

b. \(^{x}\log (x^{2}+3x) = ^{x}\log 4\)
Karena basis logaritma sama, maka argumennya dapat disamakan:
\(x^{2}+3x = 4\)
\(x^{2}+3x-4 = 0\)
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
\((x+4)(x-1) = 0\)
Maka solusi untuk x adalah \(x = -4\) atau \(x = 1\).
Kita perlu memeriksa syarat basis dan argumen logaritma:
Syarat basis: \(x > 0\) dan \(x \neq 1\).
Syarat argumen: \(x^2+3x > 0\).
Untuk \(x = -4\): Basis \(x = -4\) tidak memenuhi syarat \(x > 0\). Jadi, \(x = -4\) bukan solusi.
Untuk \(x = 1\): Basis \(x = 1\) tidak memenuhi syarat \(x \neq 1\). Jadi, \(x = 1\) bukan solusi.
Namun, jika kita periksa kembali persamaan \(x^2+3x=4\) untuk \(x=1\), maka \(1^2+3(1)=4\) yang berarti argumennya \(4 > 0\), dan basis \(x=1\) juga memenuhi syarat bahwa argumennya \(4>0\). Tetapi basis logaritma tidak boleh sama dengan 1. Oleh karena itu, tidak ada solusi untuk bagian b.