Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x)=cosec x+tan x .

10/3

Pembahasan

Diketahui fungsi \( f(x) = \operatorname{cosec} x + \tan x \).
Kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi ini, yaitu \( f'(x) \).

Turunan dari \( \operatorname{cosec} x \) adalah \( -\operatorname{cosec} x \cot x \).
Turunan dari \( \tan x \) adalah \( \sec^2 x \).

Maka, turunan pertama fungsi f(x) adalah:
\( f'(x) = -\operatorname{cosec} x \cot x + \sec^2 x \)

Sekarang, kita perlu menentukan nilai \( f'(\frac{\pi}{3}) \).
Kita perlu nilai-nilai trigonometri untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) (atau 60 derajat):
\( \operatorname{cosec} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \sec \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{1/2} = 2 \)

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam \( f'(x) \):
\( f'(\frac{\pi}{3}) = -(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{3}}) + (2)^2 \)
\( f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3} + 4 \)
\( f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3} + \frac{12}{3} \)
\( f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{10}{3} \)

Maka, nilai \( f'(\frac{\pi}{3}) \) adalah \( \frac{10}{3} \).