Diketahui fungsi f: R->R dan g: R->R. Jika f(x)=akar(x^2+1)

g(x-3) = 1/(x-2).

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = sqrt(x^2+1) dan komposisi fungsi (fog)(x) = 1/(x+1) * sqrt(x^2+2x+2).
Kita tahu bahwa (fog)(x) = f(g(x)).
Maka, f(g(x)) = sqrt((g(x))^2 + 1).
Kita punya:
sqrt((g(x))^2 + 1) = 1/(x+1) * sqrt(x^2+2x+2).
Kuadratkan kedua sisi:
(g(x))^2 + 1 = (1/(x+1)^2) * (x^2+2x+2).
Perhatikan bahwa x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1.
Maka,
(g(x))^2 + 1 = (1/(x+1)^2) * ((x+1)^2 + 1).
(g(x))^2 + 1 = (x+1)^2 / (x+1)^2 + 1 / (x+1)^2.
(g(x))^2 + 1 = 1 + 1 / (x+1)^2.
Kurangi kedua sisi dengan 1:
(g(x))^2 = 1 / (x+1)^2.
Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
g(x) = +/- 1 / (x+1).
Kita perlu menentukan g(x-3).
Ganti x dengan (x-3) dalam fungsi g(x):
g(x-3) = +/- 1 / ((x-3)+1).
g(x-3) = +/- 1 / (x-2).
Karena bentuk asli dari (fog)(x) adalah 1/(x+1) * sqrt(x^2+2x+2), dan f(x) adalah akar positif, maka g(x) haruslah positif agar menghasilkan bentuk tersebut.
Jadi, kita ambil g(x) = 1/(x+1).
Maka, g(x-3) = 1 / (x-2).