Hitunglah nilai dari: lim x -> 0 (x-sin (x) cos (x))/(tan

2

Pembahasan

Untuk menghitung limit tersebut, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x -> 0 (x - sin(x)cos(x)) / (tan(x) - x)

Turunkan pembilang dan penyebutnya:
Turunan pembilang: d/dx (x - sin(x)cos(x)) = 1 - (cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)) = 1 - cos^2(x) + sin^2(x)
Turunan penyebut: d/dx (tan(x) - x) = sec^2(x) - 1

Jadi, limitnya menjadi:
lim x -> 0 (1 - cos^2(x) + sin^2(x)) / (sec^2(x) - 1)

Substitusikan kembali x = 0:
(1 - cos^2(0) + sin^2(0)) / (sec^2(0) - 1)
(1 - 1^2 + 0^2) / (1^2 - 1)
(1 - 1 + 0) / (1 - 1) = 0/0

Karena masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi:

Turunan pembilang kedua: d/dx (1 - cos^2(x) + sin^2(x)) = 0 - 2cos(x)(-sin(x)) + 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 4sin(x)cos(x) = 2sin(2x)
Turunan penyebut kedua: d/dx (sec^2(x) - 1) = 2sec(x) * (sec(x)tan(x)) = 2sec^2(x)tan(x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim x -> 0 (2sin(2x)) / (2sec^2(x)tan(x))

Substitusikan x = 0:
(2sin(0)) / (2sec^2(0)tan(0))
(2*0) / (2*1^2*0) = 0/0

Kita gunakan aturan L'Hopital untuk ketiga kalinya:

Turunan pembilang ketiga: d/dx (2sin(2x)) = 2 * cos(2x) * 2 = 4cos(2x)
Turunan penyebut ketiga: d/dx (2sec^2(x)tan(x)) = d/dx (2 * (1/cos^2(x)) * (sin(x)/cos(x))) = d/dx (2sin(x)/cos^3(x))

Menggunakan aturan hasil bagi:
[ (2cos(x)cos^3(x) - 2sin(x) * 3cos^2(x)(-sin(x))) ] / (cos^3(x))^2
[ 2cos^4(x) + 6sin^2(x)cos^2(x) ] / cos^6(x)
2cos^2(x)[cos^2(x) + 3sin^2(x)] / cos^6(x)
2[cos^2(x) + 3sin^2(x)] / cos^4(x)

Substitusikan x=0:
[ 2(1 + 3*0) ] / 1 = 2

Jadi, limitnya menjadi:
lim x -> 0 (4cos(2x)) / (2[cos^2(x) + 3sin^2(x)] / cos^4(x))
Substitusikan x = 0:
(4cos(0)) / (2[cos^2(0) + 3sin^2(0)] / cos^4(0))
(4*1) / (2[1 + 3*0] / 1)
4 / (2[1]/1) = 4 / 2 = 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.