Diketahui fungsi f: R->R dirumuskan dengan f(x)=x/(3-x).

a. f^(-1)(x) = 3x/(1+x), b. Df = R\{3}, c. Rf = R\{-1}

Pembahasan

Diketahui fungsi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dirumuskan dengan \( f(x) = \frac{x}{3-x} \).

a. **Menentukan \( f^{-1}(x) \):**
   Misalkan \( y = f(x) \).
   \( y = \frac{x}{3-x} \)
   Tukar \(x\) dan \(y\):
   \( x = \frac{y}{3-y} \)
   Kalikan kedua sisi dengan \( (3-y) \):
   \( x(3-y) = y \)
   \( 3x - xy = y \)
   Pindahkan suku \( -xy \) ke sisi kanan:
   \( 3x = y + xy \)
   Faktorkan \(y\) di sisi kanan:
   \( 3x = y(1 + x) \)
   Bagi kedua sisi dengan \( (1+x) \) untuk mendapatkan \(y\):
   \( y = \frac{3x}{1+x} \)
   Jadi, \( f^{-1}(x) = \frac{3x}{1+x} \).

b. **Menentukan domain fungsi \( f \) (Df):**
   Domain suatu fungsi adalah himpunan semua nilai \(x\) yang mungkin untuk fungsi tersebut. Fungsi \( f(x) = \frac{x}{3-x} \) tidak terdefinisi ketika penyebutnya adalah nol.
   \( 3 - x \ne 0 \)
   \( x \ne 3 \)
   Jadi, domain fungsi \( f \) adalah semua bilangan real kecuali 3, yang dapat ditulis sebagai \( Df = \{x | x \in \mathbb{R}, x \ne 3 \} \) atau \( Df = \mathbb{R} \setminus \{3\} \).

c. **Menentukan \( Rf \) atau \( D_{f^{-1}} \):**
   Range dari fungsi \( f \) sama dengan domain dari fungsi inversnya \( f^{-1} \).
   Kita memiliki \( f^{-1}(x) = \frac{3x}{1+x} \).
   Fungsi invers ini tidak terdefinisi ketika penyebutnya adalah nol:
   \( 1 + x \ne 0 \)
   \( x \ne -1 \)
   Jadi, domain dari \( f^{-1}(x) \) adalah semua bilangan real kecuali -1. Oleh karena itu, range dari \( f(x) \) adalah \( Rf = \{y | y \in \mathbb{R}, y \ne -1 \} \) atau \( Rf = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).