Dari suatu segitiga A B C sama sisi diketahui bahwa

$(2 + 4\sqrt{3}, 1 - 3\sqrt{3})$ atau $(2 - 4\sqrt{3}, 1 + 3\sqrt{3})$

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Titik A memiliki koordinat (-1, -3) dan titik B memiliki koordinat (5, 5).

Dalam segitiga sama sisi, ketiga sisinya memiliki panjang yang sama, dan ketiga sudutnya adalah 60 derajat.

Langkah 1: Hitung panjang sisi AB.
Panjang AB dapat dihitung menggunakan rumus jarak antara dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$, yaitu $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2}$
$AB = \sqrt{(5+1)^2 + (5+3)^2}$
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$AB = \sqrt{36 + 64}$
$AB = \sqrt{100}$
$AB = 10$ cm.

Karena segitiga ABC sama sisi, maka panjang AC = BC = AB = 10 cm.

Langkah 2: Cari koordinat titik C(x, y).
Kita bisa menggunakan sifat bahwa jarak dari C ke A adalah 10 dan jarak dari C ke B adalah 10.

Jarak AC = 10:
$(\sqrt{(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2})^2 = 10^2$
$(x+1)^2 + (y+3)^2 = 100$  (Persamaan 1)

Jarak BC = 10:
$(\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 5)^2})^2 = 10^2$
$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 100$  (Persamaan 2)

Sekarang, kita samakan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
$(x+1)^2 + (y+3)^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 10y + 25$
$2x + 6y + 10 = -10x - 10y + 50$
$2x + 10x + 6y + 10y = 50 - 10$
$12x + 16y = 40$
Bagi kedua sisi dengan 4:
$3x + 4y = 10$ (Persamaan 3)

Dari Persamaan 3, kita bisa nyatakan y dalam x:
$4y = 10 - 3x$
$y = \frac{10 - 3x}{4}$

Substitusikan nilai y ini ke Persamaan 1:
$(x+1)^2 + (\frac{10 - 3x}{4} + 3)^2 = 100$
$(x+1)^2 + (\frac{10 - 3x + 12}{4})^2 = 100$
$(x+1)^2 + (\frac{22 - 3x}{4})^2 = 100$
$x^2 + 2x + 1 + \frac{(22 - 3x)^2}{16} = 100$
$x^2 + 2x + 1 + \frac{484 - 132x + 9x^2}{16} = 100$
Kalikan seluruh persamaan dengan 16:
$16(x^2 + 2x + 1) + 484 - 132x + 9x^2 = 1600$
$16x^2 + 32x + 16 + 484 - 132x + 9x^2 = 1600$
$(16x^2 + 9x^2) + (32x - 132x) + (16 + 484) = 1600$
$25x^2 - 100x + 500 = 1600$
$25x^2 - 100x + 500 - 1600 = 0$
$25x^2 - 100x - 1100 = 0$
Bagi kedua sisi dengan 25:
$x^2 - 4x - 44 = 0$

Gunakan rumus kuadratik untuk mencari x: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Dalam kasus ini, a=1, b=-4, c=-44.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-44)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{192}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 \times 3}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 8\sqrt{3}}{2}$
$x = 2 \pm 4\sqrt{3}$

Jadi, ada dua kemungkinan nilai x untuk titik C.

Kasus 1: $x = 2 + 4\sqrt{3}$
$y = \frac{10 - 3(2 + 4\sqrt{3})}{4}$
$y = \frac{10 - 6 - 12\sqrt{3}}{4}$
$y = \frac{4 - 12\sqrt{3}}{4}$
$y = 1 - 3\sqrt{3}$

Koordinat C1 = $(2 + 4\sqrt{3}, 1 - 3\sqrt{3})$

Kasus 2: $x = 2 - 4\sqrt{3}$
$y = \frac{10 - 3(2 - 4\sqrt{3})}{4}$
$y = \frac{10 - 6 + 12\sqrt{3}}{4}$
$y = \frac{4 + 12\sqrt{3}}{4}$
$y = 1 + 3\sqrt{3}$

Koordinat C2 = $(2 - 4\sqrt{3}, 1 + 3\sqrt{3})$

Alternatif: Menggunakan rotasi atau vektor.

Titik tengah AB adalah M = $(\frac{-1+5}{2}, \frac{-3+5}{2}) = (2, 1)$.

AB tegak lurus CM.
Gradien AB = $\frac{5 - (-3)}{5 - (-1)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Gradien CM = $-\frac{1}{gradien AB} = -\frac{3}{4}$.

Panjang CM = tinggi segitiga sama sisi dengan sisi 10.
Tinggi = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times sisi = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3}$.

Koordinat C dapat ditemukan dengan bergerak dari M sejauh $5\sqrt{3}$ searah vektor yang tegak lurus AB.

Vektor AB = $(5 - (-1), 5 - (-3)) = (6, 8)$.
Vektor yang tegak lurus AB bisa $( -8, 6 )$ atau $( 8, -6 )$.
Kita perlu menormalisasi vektor ini dan mengalikannya dengan $5\sqrt{3}$.
Panjang vektor $(6, 8)$ adalah $\sqrt{6^2+8^2} = 10$.

Vektor satuan tegak lurus = $\frac{1}{10}(-8, 6) = (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ atau $\frac{1}{10}(8, -6) = (\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$.

Koordinat C = M $\pm$ (Panjang CM) * (Vektor satuan tegak lurus)

C = $(2, 1) \pm 5\sqrt{3} \times (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Kasus 1: Menggunakan $(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$
C = $(2, 1) + 5\sqrt{3} \times (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$
C = $(2, 1) + (-4\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$
C = $(2 - 4\sqrt{3}, 1 + 3\sqrt{3})$

Kasus 2: Menggunakan $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$
C = $(2, 1) + 5\sqrt{3} \times (\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$
C = $(2, 1) + (4\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$
C = $(2 + 4\sqrt{3}, 1 - 3\sqrt{3})$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.