Diketahui fungsi f(x) = 1/2 cos (6x - pi/2) untuk 0 <= x <=

a. Titik stasioner: pi/12, pi/4, 5pi/12, 7pi/12, 3pi/4, 11pi/12. b. Naik: [0, pi/12), (pi/4, 5pi/12), (3pi/4, 11pi/12). Turun: (pi/12, pi/4), (5pi/12, 3pi/4), (11pi/12, pi]. c. Nilai maksimum: 1/2, Nilai minimum: -1/2.

Pembahasan

Untuk fungsi f(x) = 1/2 cos (6x - pi/2) pada interval 0 <= x <= pi:

a. Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).
Turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'.
Dalam kasus ini, u = 6x - pi/2, sehingga u' = 6.

f'(x) = 1/2 * [-sin(6x - pi/2) * 6]
f'(x) = -3 sin(6x - pi/2)

Karena sin(theta) = cos(theta + pi/2), maka sin(6x - pi/2) = cos(6x).
Jadi, f'(x) = -3 cos(6x).

Atur f'(x) = 0:
-3 cos(6x) = 0
cos(6x) = 0

Nilai cosinus bernilai nol ketika sudutnya adalah pi/2 + n*pi, di mana n adalah bilangan bulat.
6x = pi/2 + n*pi
x = pi/12 + n*pi/6

Untuk 0 <= x <= pi:
Jika n=0, x = pi/12
Jika n=1, x = pi/12 + pi/6 = 3pi/12 = pi/4
Jika n=2, x = pi/12 + 2pi/6 = 5pi/12
Jika n=3, x = pi/12 + 3pi/6 = 7pi/12
Jika n=4, x = pi/12 + 4pi/6 = 9pi/12 = 3pi/4
Jika n=5, x = pi/12 + 5pi/6 = 11pi/12

Titik stasioner adalah x = pi/12, pi/4, 5pi/12, 7pi/12, 3pi/4, 11pi/12.

b. Interval naik dan turun fungsi f.
Kita perlu melihat tanda dari f'(x) = -3 cos(6x).

Interval naik ketika f'(x) > 0:
-3 cos(6x) > 0
cos(6x) < 0
Ini terjadi ketika 6x berada di kuadran II atau III.
 pi/2 + n*pi < 6x < 3pi/2 + n*pi
 pi/12 + n*pi/6 < x < pi/4 + n*pi/6

Untuk n=0: pi/12 < x < pi/4 (Naik)
Untuk n=1: 7pi/12 < x < 3pi/4 (Naik)

Interval turun ketika f'(x) < 0:
-3 cos(6x) < 0
cos(6x) > 0
Ini terjadi ketika 6x berada di kuadran I atau IV.
-pi/2 + n*pi < 6x < pi/2 + n*pi
-pi/12 + n*pi/6 < x < pi/12 + n*pi/6

Untuk n=1: pi/12 < x < pi/4 (yang sebelumnya naik, mari cek kembali)
cos(6x) > 0 berarti 6x berada di interval [0, pi/2] atau [3pi/2, 2pi] dst.

Mari kita gunakan titik uji dari interval yang dibentuk oleh titik stasioner:

(0, pi/12): Pilih x = pi/24. f'(pi/24) = -3 cos(pi/4) = -3(sqrt(2)/2) < 0 (Turun)
(pi/12, pi/4): Pilih x = pi/8. f'(pi/8) = -3 cos(3pi/4) = -3(-sqrt(2)/2) > 0 (Naik)
(pi/4, 5pi/12): Pilih x = pi/3. f'(pi/3) = -3 cos(2pi) = -3(1) < 0 (Turun)
(5pi/12, 7pi/12): Pilih x = 2pi/3. f'(2pi/3) = -3 cos(4pi) = -3(1) < 0 (Turun). Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya.

Mari kita perbaiki:
f'(x) = -3 sin(6x - pi/2) = -3 (-cos(6x)) = 3 cos(6x).

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 1/2 cos (6x - pi/2):
Ingat bahwa cos(A - pi/2) = sin(A).
Jadi, f(x) = 1/2 sin(6x).

Turunan pertama f'(x) = 1/2 * cos(6x) * 6 = 3 cos(6x).

a. Titik stasioner (f'(x) = 0):
3 cos(6x) = 0
cos(6x) = 0
6x = pi/2 + n*pi
x = pi/12 + n*pi/6

Untuk 0 <= x <= pi:
x = pi/12, pi/4, 5pi/12, 7pi/12, 3pi/4, 11pi/12.

b. Interval naik dan turun:
Interval naik ketika f'(x) > 0, yaitu 3 cos(6x) > 0 atau cos(6x) > 0.
Ini terjadi ketika 6x berada di kuadran I atau IV.
-pi/2 + 2n*pi < 6x < pi/2 + 2n*pi
-pi/12 + n*pi/3 < x < pi/12 + n*pi/3

Untuk n=0: 0 <= x < pi/12 (Naik)
Untuk n=1: pi/4 < x < 5pi/12 (Naik)
Untuk n=2: 3pi/4 < x < 11pi/12 (Naik)

Interval turun ketika f'(x) < 0, yaitu 3 cos(6x) < 0 atau cos(6x) < 0.
Ini terjadi ketika 6x berada di kuadran II atau III.
pi/2 + 2n*pi < 6x < 3pi/2 + 2n*pi
pi/12 + n*pi/3 < x < 5pi/12 + n*pi/3

Untuk n=0: pi/12 < x < pi/4 (Turun)
Untuk n=1: 5pi/12 < x < 3pi/4 (Turun)
Untuk n=2: 11pi/12 < x <= pi (Turun)

Interval naik: [0, pi/12), (pi/4, 5pi/12), (3pi/4, 11pi/12)
Interval turun: (pi/12, pi/4), (5pi/12, 3pi/4), (11pi/12, pi]

c. Nilai maksimum dan minimum fungsi f.
Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik stasioner atau di batas interval.
Nilai fungsi f(x) = 1/2 sin(6x).

f(pi/12) = 1/2 sin(pi/2) = 1/2 (1) = 1/2
f(pi/4) = 1/2 sin(3pi/2) = 1/2 (-1) = -1/2
f(5pi/12) = 1/2 sin(5pi/2) = 1/2 (1) = 1/2
f(7pi/12) = 1/2 sin(7pi/2) = 1/2 (-1) = -1/2
f(3pi/4) = 1/2 sin(9pi/2) = 1/2 (1) = 1/2
f(11pi/12) = 1/2 sin(11pi/2) = 1/2 (-1) = -1/2

Di batas interval:
f(0) = 1/2 sin(0) = 0
f(pi) = 1/2 sin(6pi) = 0

Nilai maksimum fungsi adalah 1/2.
Nilai minimum fungsi adalah -1/2.