Diketahui fungsi f(x) = (2+sin X)/COS X. Garis singgung

Nilai b adalah -pi - 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai b, kita perlu mencari persamaan garis singgung dari fungsi f(x) = (2+sin X)/COS X pada x = pi.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x) untuk mendapatkan gradien garis singgung.
Kita gunakan aturan pembagian: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Misalkan u = 2 + sin X, maka u' = cos X
Misalkan v = cos X, maka v' = -sin X

f'(x) = ( (cos X)(cos X) - (2 + sin X)(-sin X) ) / (cos X)^2
f'(x) = (cos^2 X + 2sin X + sin^2 X) / cos^2 X
Karena cos^2 X + sin^2 X = 1, maka:
f'(x) = (1 + 2sin X) / cos^2 X

Langkah 2: Hitung gradien garis singgung pada x = pi.
Substitusikan x = pi ke dalam f'(x).
Pada x = pi:
sin(pi) = 0
cos(pi) = -1

f'(pi) = (1 + 2*sin(pi)) / (cos(pi))^2
f'(pi) = (1 + 2*0) / (-1)^2
f'(pi) = (1 + 0) / 1
f'(pi) = 1

Jadi, gradien (m) garis singgung adalah 1.

Langkah 3: Cari titik singgung (x1, y1).
Kita sudah tahu x1 = pi.
Sekarang cari y1 = f(pi).
f(pi) = (2 + sin(pi)) / cos(pi)
f(pi) = (2 + 0) / (-1)
f(pi) = 2 / -1
f(pi) = -2

Jadi, titik singgungnya adalah (pi, -2).

Langkah 4: Gunakan persamaan garis singgung y - y1 = m(x - x1).
Kita punya m = 1, x1 = pi, y1 = -2.

y - (-2) = 1(x - pi)
y + 2 = x - pi

Langkah 5: Cari titik potong dengan sumbu y (0, b).
Untuk mencari titik potong sumbu y, kita substitusikan x = 0 ke dalam persamaan garis singgung.

0 + 2 = 0 - pi
2 = -pi

Ini tampaknya salah. Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.

Persamaan garis singgung memotong sumbu y di titik (0, b). Ini berarti ketika x = 0, y = b.

Mari kita substitusikan x=0 ke dalam persamaan garis singgung:
y + 2 = x - pi
b + 2 = 0 - pi
b + 2 = -pi
b = -pi - 2

Mari kita baca soalnya lagi: "Garis singgung grafiknya pada x = pi, memotong sumbu y di titik (0, b). Nilai b yang memenuhi adalah"

Persamaan garis singgungnya adalah y = x - pi - 2.
Titik potong sumbu y terjadi ketika x = 0.
Jika x = 0, maka y = 0 - pi - 2 = -pi - 2.
Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, -pi - 2).

Ini berarti b = -pi - 2.

Mari kita pastikan perhitungannya.

f(x) = (2+sin X)/COS X
f'(x) = (1 + 2sin X) / cos^2 X
Pada x = pi:
sin(pi) = 0, cos(pi) = -1
f(pi) = (2+0)/(-1) = -2. Titik adalah (pi, -2).
f'(pi) = (1 + 2*0) / (-1)^2 = 1/1 = 1. Gradien m = 1.

Persamaan garis singgung: y - (-2) = 1(x - pi)
y + 2 = x - pi

Memotong sumbu y di (0, b). Substitusikan x=0, y=b:
b + 2 = 0 - pi
b = -pi - 2.

Perhitungan ini tampaknya konsisten.

Ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda atau kesalahan dalam soal itu sendiri jika hasilnya diharapkan berupa bilangan bulat.

Namun, berdasarkan perhitungan turunan dan persamaan garis singgung, nilai b adalah -pi - 2.

Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam turunan atau substitusi.

Alternatif perhitungan turunan menggunakan aturan rantai dan pembagian:
Misalkan f(x) = (2 + sin x) * (cos x)^(-1)
f'(x) = (cos x) * (cos x)^(-1) + (2 + sin x) * (-1)(cos x)^(-2) * (-sin x)
f'(x) = 1 + (2 + sin x) * sin x / cos^2 x
f'(x) = 1 + (2sin x + sin^2 x) / cos^2 x
f'(x) = (cos^2 x + 2sin x + sin^2 x) / cos^2 x
f'(x) = (1 + 2sin x) / cos^2 x. (Turunan sudah benar).

Substitusi pada x = pi:
sin(pi) = 0, cos(pi) = -1.
Titik (pi, f(pi)) = (pi, (2+0)/(-1)) = (pi, -2).
Gradien f'(pi) = (1 + 2*0) / (-1)^2 = 1/1 = 1.

Persamaan garis singgung: y - y1 = m(x - x1)
y - (-2) = 1(x - pi)
y + 2 = x - pi

Titik potong sumbu y adalah saat x = 0.
Misalkan titiknya adalah (0, b).
Substitusikan (0, b) ke dalam persamaan garis singgung:
b + 2 = 0 - pi
b = -pi - 2.

Jika soal ini berasal dari konteks di mana jawaban berupa bilangan bulat diharapkan, mungkin ada kesalahan dalam soalnya atau ada identitas trigonometri yang perlu digunakan.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan:
Nilai b yang memenuhi adalah -pi - 2.