Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang

130 buah barang.

Pembahasan

Untuk menentukan banyak barang yang harus diproduksi agar total keuntungan mencapai maksimum, kita perlu mencari nilai x yang memaksimalkan fungsi keuntungan K(x) = 260x - x^2.

Fungsi keuntungan K(x) = 260x - x^2 adalah sebuah fungsi kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola terbuka ke bawah (karena koefisien x^2 adalah negatif, yaitu -1). Puncak parabola ini akan menunjukkan nilai maksimum.

Ada dua cara umum untuk menemukan nilai maksimum fungsi kuadrat:

Metode 1: Menggunakan turunan.
Untuk mencari nilai maksimum, kita cari turunan pertama dari fungsi keuntungan K(x) terhadap x, lalu samakan dengan nol.

K(x) = 260x - x^2

Turunan pertama K'(x) adalah:
K'(x) = d/dx (260x - x^2)
K'(x) = 260 - 2x

Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik stasioner (yang dalam kasus ini adalah titik maksimum):
K'(x) = 0
260 - 2x = 0
260 = 2x
x = 260 / 2
x = 130

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua. Turunan kedua K''(x) adalah:
K''(x) = d/dx (260 - 2x)
K''(x) = -2

Karena K''(x) = -2 (negatif), maka titik stasioner pada x = 130 adalah titik maksimum.

Metode 2: Menggunakan rumus sumbu simetri parabola.
Untuk fungsi kuadrat dalam bentuk f(x) = ax^2 + bx + c, sumbu simetrinya berada pada x = -b / 2a. Nilai maksimum atau minimum terjadi pada sumbu simetri ini.

Dalam kasus kita, fungsi keuntungan adalah K(x) = -x^2 + 260x. Jadi, a = -1, b = 260, dan c = 0.

Nilai x yang memaksimalkan keuntungan adalah:
x = -b / 2a
x = -(260) / (2 * -1)
x = -260 / -2
x = 130

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah 130 buah.