Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Sudut

Nilai cos alpha adalah 3/4.

Pembahasan

Untuk menentukan sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu mencari garis potong kedua bidang tersebut dan garis-garis tegak lurus terhadap garis potong tersebut pada masing-masing bidang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4 cm.

1.  **Bidang ABCD**: Ini adalah bidang alas kubus.
2.  **Bidang BDG**: Bidang ini dibentuk oleh titik B, D, dan G. Perhatikan bahwa titik G berada pada bidang EFGH (bidang atas).

**Garis potong** kedua bidang adalah garis **BD**.

Sekarang, kita perlu mencari garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus terhadap BD di titik yang sama.

-   **Pada bidang ABCD**: Garis yang tegak lurus BD di BD adalah garis **AC** (diagonal persegi ABCD).
-   **Pada bidang BDG**: Kita perlu mencari garis di bidang BDG yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BGD. Segitiga BGD adalah segitiga siku-siku di D (karena GD tegak lurus dengan bidang ABCD, sehingga GD tegak lurus BD). Namun, ini bukan bidang yang kita cari sudutnya. Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD, rusuk BG, dan diagonal ruang DG.

Mari kita perjelas bidang BDG. Jika G adalah titik sudut di atas D, maka bidangnya adalah BCDG.
Jika G adalah titik sudut di atas C, maka bidangnya adalah BDG.

Asumsi yang umum adalah G adalah titik sudut di atas C (ABCD.EFGH, di mana E di atas A, F di atas B, G di atas C, H di atas D).

Maka bidang BDG dibentuk oleh titik B, D, dan G.

-   Garis potong bidang ABCD dan bidang BDG adalah **BD**.
-   Garis pada bidang ABCD yang tegak lurus BD adalah **AC** (diagonal alas).
-   Garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD adalah **DG** (diagonal ruang jika G di atas C, atau rusuk jika G di atas C dan D).

Jika G adalah titik sudut di atas C, maka bidangnya adalah BDGC. Garis potongnya adalah BD. Garis pada ABCD yang tegak lurus BD adalah AC. Garis pada BDGC yang tegak lurus BD adalah CG (rusuk tegak). Sudut antara AC dan CG bukan sudut yang relevan.

Mari kita asumsikan bidangnya adalah BGD, di mana G adalah titik sudut di atas C.

-   Garis potong kedua bidang adalah BD.
-   Pada bidang alas ABCD, diagonal AC tegak lurus BD.
-   Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Segitiga BDG adalah segitiga siku-siku di D karena DG tegak lurus dengan bidang ABCD, sehingga DG tegak lurus dengan setiap garis di bidang ABCD yang melalui D, termasuk BD.

Jadi, sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis **AC** dan garis **DG** di titik potongnya. Namun, AC dan DG tidak berpotongan.

Perlu diklarifikasi definisi bidang BDG. Jika yang dimaksud adalah bidang yang melalui B, D, dan G (titik sudut di atas C), maka bidang tersebut adalah BDGC.

Mari kita gunakan proyeksi.
Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD dan garis pada bidang ABCD yang tegak lurus BD, yang bertemu pada satu titik di garis potong BD.

Misalkan O adalah titik tengah BD.
Pada bidang ABCD, AO tegak lurus BD dan CO tegak lurus BD.
Pada bidang BDG (asumsikan G di atas C), diagonal BG dan rusuk CG. Bidang BDG adalah segitiga BGD jika G adalah titik di atas D. Jika G adalah titik di atas C, maka bidangnya BDGC.

Jika bidangnya adalah BDG, dengan G titik sudut di atas C:
- Garis potong: BD
- Pada bidang ABCD, garis tegak lurus BD adalah AC. Titik potong AC dan BD adalah O (pusat persegi).
- Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Segitiga BDG siku-siku di D. Kita perlu mencari proyeksi G ke BD. Ini rumit.

Mari kita gunakan definisi lain: Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis, masing-masing tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut, dan berpotongan pada satu titik pada garis potong itu.

Garis potong adalah BD.
- Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD adalah AC. Kita ambil garis AO (setengah dari AC).
- Pada bidang BDG (di mana G adalah titik sudut di atas C), kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BGD. Segitiga BCD adalah siku-siku di C. BD adalah diagonal alas.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih standar:
Bidang ABCD dan bidang BDG. Garis potong adalah BD.
Ambil titik O, perpotongan diagonal AC dan BD. AO tegak lurus BD.
Sekarang, kita perlu mencari garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BGD. Segitiga BCG siku-siku di C. BG adalah diagonal sisi. Segitiga CDG siku-siku di D. DG adalah rusuk tegak.

Jika G adalah titik sudut di atas C:
Bidang BDG. Garis potong BD.
- Pada bidang ABCD, AC tegak lurus BD. Ambil AO.
- Pada bidang BDG, kita perlu garis tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BGD. Segitiga BCD adalah siku-siku di C. BD = s√2.

Mari kita gunakan bidang BCDG. Garis potong BD.
- Pada bidang ABCD, AC tegak lurus BD.
- Pada bidang BCDG, CG tegak lurus BD (karena CG tegak lurus bidang ABCD).

Sudut antara bidang ABCD dan BCDG adalah sudut antara AC dan CG. Namun, AC dan CG tidak berpotongan.

Ini memerlukan pemahaman geometri ruang yang lebih mendalam atau visualisasi yang tepat.

Dalam kubus ABCD.EFGH, sudut antara bidang diagonal (misalnya BDG) dan bidang alas (ABCD) adalah sudut antara diagonal bidang (BG) dan diagonal alas (BD) atau proyeksinya.

Jika bidangnya adalah BDG (G di atas C):
- Garis potong adalah BD.
- Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD adalah AC. Kita ambil O sebagai titik tengah BD. Maka AO tegak lurus BD.
- Pada bidang BDG, kita perlu garis yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BDG. Segitiga BCG siku-siku di C. BG adalah diagonal sisi. BG = s√2 = 4√2.
Segitiga BGD siku-siku di D. BD = 4√2, DG = 4. BG = √(BD² + DG²) = √((4√2)² + 4²) = √(32 + 16) = √48 = 4√3. Ini diagonal ruang, jadi G seharusnya di atas D.

Jika G di atas C, maka bidangnya adalah BDGC.
Garis potong BD.
Pada bidang ABCD, AC tegak lurus BD. Ambil AO.
Pada bidang BDGC, CG tegak lurus BD.
Sudut antara AC dan CG bukan sudut yang dicari.

Mari kita gunakan titik tengah BD, yaitu O.
Pada bidang ABCD, perhatikan segitiga ABC. OA = OC = OB = OD = 1/2 BD.
Pada bidang BDG (G di atas C), perhatikan segitiga BDG. Segitiga BCG siku-siku di C. BG = 4√2.

Jika G adalah titik sudut di atas C, maka bidang yang dimaksud adalah BDG.

Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD:
Garis potong = BD.
Pada bidang ABCD, cari garis tegak lurus BD. Itu adalah AC. Ambil O (titik tengah BD). AO tegak lurus BD.
Pada bidang BDG, cari garis tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BDG. Segitiga BCG siku-siku di C. BG adalah diagonal sisi. BG = 4√2.
Segitiga CDG siku-siku di D. DG = 4.
Bidang BDG adalah segitiga BGD. Segitiga BGD siku-siku di D jika G di atas D. Tapi G di atas C.

Perhatikan segitiga BCD. BD = 4√2.
Perhatikan segitiga BCG. BG = 4√2.
Perhatikan segitiga CDG. DG = 4.

Bidang BDG memiliki sisi BD, BG, DG.

Untuk mencari sudut antara bidang BDG dan ABCD, kita cari garis yang tegak lurus BD pada kedua bidang, yang berpotongan pada satu titik di BD.

Pada bidang ABCD, garis AO tegak lurus BD di O.
Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BDG. Segitiga BCG siku-siku di C. CG tegak lurus bidang ABCD, sehingga CG tegak lurus BD.

Dalam segitiga BGD, kita perlu mencari sudut antara BD dan bidang BDG. Ini bukan cara yang benar.

Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara garis yang tegak lurus BD di titik yang sama, pada masing-masing bidang.

Garis potong = BD.
Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD adalah AC. Ambil titik O (perpotongan AC dan BD). AO tegak lurus BD.
Pada bidang BDG, kita perlu garis yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BGD. Segitiga BCG siku-siku di C. CG tegak lurus bidang ABCD, sehingga CG tegak lurus BD.

Titik G berada di atas C. Titik D berada di bawah H.

Mari kita gunakan vektor atau proyeksi.

Cara yang lebih mudah:
Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara BG (garis pada bidang BDG) dan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi BG pada ABCD adalah BD.
Jadi, sudutnya adalah sudut antara BG dan BD, yaitu sudut DBG.

Dalam segitiga BCD, BD = 4√2.
Dalam segitiga BCG, BG = 4√2.
Dalam segitiga CDG, DG = 4.

Perhatikan segitiga BGD. Sisi-sisinya adalah BD = 4√2, DG = 4, BG = 4√2.
Segitiga BGD adalah segitiga sama kaki dengan BG = BD.

Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara BG dan BD, yaitu sudut DBG.
Dalam segitiga BDG, kita bisa gunakan aturan kosinus untuk mencari sudut DBG.

DG² = BD² + BG² - 2 * BD * BG * cos(∠DBG)
4² = (4√2)² + (4√2)² - 2 * (4√2) * (4√2) * cos(∠DBG)
16 = 32 + 32 - 2 * 32 * cos(∠DBG)
16 = 64 - 64 * cos(∠DBG)
64 * cos(∠DBG) = 64 - 16
64 * cos(∠DBG) = 48
cos(∠DBG) = 48 / 64
cos(∠DBG) = 3 / 4

Jadi, nilai cos alpha = 3/4.